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逆天的数学 | 数学科普

本文主要是介绍逆天的数学 | 数学科普，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

前言

所有自然数的和相加为多少呢，即 111+++222+++333+++444+++555+++666+++⋯\cdots⋯===???，估计我们都会说是 +∞+\infty+∞，但数学家说 111 +++ 222+++333+++444+++555+++666+++ ⋯\cdots⋯ === −112-\frac{1}{12}−121​，那么数学家到底是如何计算的呢？以下是数学家使用的最简计算过程，大家自行体会：

相关储备

求值：S=1−1+1−1+1−1+1−1+⋯S=1-1+1-1+1-1+1-1+\cdotsS=1−1+1−1+1−1+1−1+⋯

解： S=1−1+1−1+1−1+1−1+⋯S=1-1+1-1+1-1+1-1+\cdotsS=1−1+1−1+1−1+1−1+⋯

即，S=S=S=1−(1−1+1−1+1−1+1−1+⋯)1-(1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots)1−(1−1+1−1+1−1+1−1+⋯)

则 S=1−SS=1-SS=1−S，解得 S=12S=\frac{1}{2}S=21​ .

正式求解

求值：111+++222+++333+++444+++555+++666+++⋯\cdots⋯===???

解：令 S1=S_1=S1​=111+++222+++333+++444+++555+++666+++⋯\cdots⋯ ①

再令 \quadS2=S_2=S2​=111−-−222+++333−-−444+++555−-−666+++⋯\cdots⋯ ②

①-② 得到，S1S_1S1​−-−S2S_2S2​===444+++888+++121212+++161616+++⋯\cdots⋯ === 4(111+++222+++333+++444+++555+++666+++⋯\cdots⋯)=== 4S14S_14S1​

即 −3S1=S2-3S_1=S_2−3S1​=S2​， 则 S1=−13S2S_1=-\frac{1}{3}S_2S1​=−31​S2​，以下重点求解 S2S_2S2​，

由于 S2S_2S2​===111−-−222+++333−-−444+++555−-−666+++⋯\cdots⋯

则 \quadS2S_2S2​ === 0+111−-−222+++333−-−444+++555−-−666+++⋯\cdots⋯ \quad 此处用 000 补位，是为了错位相加，

则 2S2=1−1+1−1+1−1+1−1+⋯2S_2=1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots2S2​=1−1+1−1+1−1+1−1+⋯，而由上题我们知道，1−1+1−1+1−1+1−1+⋯=121-1+1-1+1-1+1-1+\cdots=\frac{1}{2}1−1+1−1+1−1+1−1+⋯=21​，

故 2S2=122S_2=\frac{1}{2}2S2​=21​， S2=14S_2=\frac{1}{4}S2​=41​，代入 S1=−13S2S_1=-\frac{1}{3}S_2S1​=−31​S2​，

可得到， S1=−112S_1=-\frac{1}{12}S1​=−121​，即 111+++222+++333+++444+++555+++666+++⋯\cdots⋯===−112-\frac{1}{12}−121​，逆天吧 .

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