14.3 动态规划算法

14.3.1 动态规划算法介绍

1. 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法。
2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3. 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
4. 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解。

14.3.2 应用场景-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为 4 磅 ， 现有如下物品：
1) 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2) 要求装入的物品不能重复。
3) 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分 01 背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
4) 这里的问题属于 01 背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包。
5) 算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i]和 v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的 n 个物品，设 v[i]、w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量。再令 v[i][j]表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

(1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是 0
(2) 当 w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个
单元格的装入策略
(3) 当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量, // 装入的方式:
v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]] ： 装入 i-1 商品，到剩余空间 j-w[i]的最大值
当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} ；

6. 图解的分析
   

14.3.4 动态规划-背包问题的代码实现

/**
 * @author zk
 * @version 1.0.0
 * @ClassName KnapsackProblem.java
 * @Description TODO 动态规划-背包问题
 * @createTime 2021年09月30日 09:41:00
 */
public class KnapsackProblem {
    public static void main(String[] args) {
        // 物品对应的重量
        int[] w = {1, 4, 3};
        // 物品对应的价值
        int[] val = {1500, 3000, 2000};

        int m = 4; //背包容量
        int n = val.length; // 物品的个数
        //v[i][j] 表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价
        int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
        //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
        int[][] path = new int[n + 1][m + 1];

        // 把v第一行和第一列置为0  ，其实可以不做，因为数组默认为0
        /*for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            v[i][0] = 0;
        }
        for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
            v[0][i] = 0;
        }*/

        for (int i = 1; i < v.length; i++) {
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
                if (w[i - 1] > j) {
                    // 物品重量大于背包容量
                    v[i][j] = v[i - 1][j];
                } else {
                    // 背包容量大于等于物品重量
                    // max{v[i-1][j],val[i-1] + v[i-1][j-w[i-1]]}
                    if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
                        v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
                        //把当前的情况记录到 path
                        path[i][j] = 1;
                    } else {
                        v[i][j] = v[i - 1][j];
                    }
                }

            }
        }

        //  动脑筋   打印存放的物品种类
        int i = path.length - 1; //行的最大下标
        int j = path[0].length - 1; //列的最大下标
        while(i > 0 && j > 0 ) { //从 path 的最后开始找
            if(path[i][j] == 1) {
                System.out.printf("第%d 个商品放入到背包\n", i);
                j -= w[i-1]; //w[i-1]
            }
            i--;
        }
    }

}