一、题目

题目描述：

　　给你一个正整数N，在[2,N]这个区间内有多少个素数。

输入描述：

　　先输入一个整数T，代表有T(1<=T<=100000000)组数据，然后有T行正数N（1<N<=10000000）.

输出描述

　　对于每一个N，输出在这[2,N]区间内，有多少个素数。

二、暴力素数筛

　　整体实现思想：两层循环，遍历每一个数，判断其是否为素数。

　　代码如下：

 1 //暴力素数筛
 2 vector<int> Find_Prime_number1(int n)
 3 {
 4     vector<int> ans;
 5 
 6     //从2开始，1不是素数
 7     for (int i = 2; i <= n; i++)
 8     {
 9         //默认是素数
10         int flag = 1;
11         //判断i是否是素数
12         for (int j = 2; j < i; j++)
13         {
14             if (i % j == 0)
15             {
16                 flag = 0;
17                 break;
18             }
19         }
20         if (flag)
21             ans.push_back(i);
22     }
23 
24     return ans;
25 }

　　对其进行简单的优化，第二层的结束条件可以优化为sqrt(i)，因为右面的所有数字都在面被遍历过。

　　代码如下：

 1 //暴力素数筛优化
 2 vector<int> Find_Prime_number2(int n)
 3 {
 4     vector<int> ans;
 5 
 6     //从2开始，1不是素数
 7     for (int i = 2; i <= n; i++)
 8     {
 9         //默认是素数
10         int flag = 1;
11         //优化循环结束调节，开方
12         for (int j = 2; j <= sqrt(i); j++)
13         {
14             if (i % j == 0)
15             {
16                 flag = 0;
17                 break;
18             }
19         }
20         if (flag)
21             ans.push_back(i);
22     }
23 
24     return ans;
25 }

三、朴素素数筛(埃拉托斯特尼筛法)

　　整体实现思想：遍历到的每一个素数，将其的倍数设置为合数，避免对每一树的判断，可以大幅度节省时间，但是注意第二层循环的开始条件，从而i*i开始，而不是i*2。时间复杂度为O(n*loglogn)。

　　代码如下：

 1 //朴素素数筛(埃拉托斯特尼筛法)，时间复杂度为O(n * loglogn)
 2 vector<int> Find_Prime_number3(int n)
 3 {
 4     vector<int> ans;
 5 
 6     vector<bool> flag(n + 1, true);
 7 
 8     //0和1不是素数，直接初始化好
 9     flag[0] = 0;
10     flag[1] = 0;
11 
12     //从2开始，1不是素数
13     for (int i = 2; i <= n; i++)
14     {
15         //如果当前数字是素数
16         if (flag[i])
17         {
18             //i的倍数标记被不是素数
19             for (int j = i * i; j <= n; j += i)
20             {
21                 flag[j] = false;
22             }
23             ans.push_back(i);
24         }
25     }
26 
27     return ans;
28 }

四、线性素数筛(欧拉筛法)

　　整体实现思想：在朴素素数筛的过程中我们会重复筛到同一个数，例如12同时被2和3筛到，30同时被2、3和5筛到。所以我们引入欧拉筛，也叫线性筛，可以在  时间内完成对2~n的筛选。它的核心思想是：让每一个合数被其最小质因数筛到。

　　代码如下：

 1 //线性素数筛(欧拉筛法)，时间复杂度为O(n)
 2 vector<int> Find_Prime_number4(int n)
 3 {
 4     vector<int> ans;
 5 
 6     vector<bool> flag(n + 1, true);
 7 
 8     //0和1不是素数，直接初始化好
 9     flag[0] = 0;
10     flag[1] = 0;
11 
12     //从2开始，1不是素数
13     for (int i = 2; i <= n; i++)
14     {
15         //如果当前数字是素数
16         if (flag[i])
17             ans.push_back(i);
18 
19         //显示标记合数
20         for (int j = 1; j <= ans.size() && i * ans[j-1] <= n; j++)
21         {
22             flag[i*ans[j - 1]] = false;
23             if (i % ans[j - 1] == 0)
24                 break;
25         }
26     }
27 
28     return ans;
29 }

五、参考文章

https://blog.csdn.net/qq_42685893/article/details/86761727

https://zhuanlan.zhihu.com/p/100051075#