克罗内克积（Kronecker product）是线性代数中的一种操作，涉及两个矩阵的组合。给定两个矩阵 ( A ) 和 ( B )，其克罗内克积 ( A \otimes B ) 是一个新的矩阵，该矩阵的每个元素都是矩阵 ( A ) 的每一个元素与矩阵 ( B ) 的整个矩阵进行乘积的结果。

具体来说，如果 ( A ) 的大小为 ( m \times n )，而 ( B ) 的大小为 ( p \times q )，则克罗内克积 ( A \otimes B ) 的结果是一个大小为 ( (m \times p) \times (n \times q) ) 的矩阵。计算方法是：

1. 对于矩阵 ( A ) 中的每一个元素 ( a_{ij} )（第 ( i ) 行第 ( j ) 列），将其乘以整个矩阵 ( B )。
2. 将所有这些结果按照位置排列，形成新的矩阵。

示例

例如，考虑以下两个矩阵：

( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} )

( B = \begin{pmatrix} 0 & 5 \ 6 & 7 \end{pmatrix} )

它们的克罗内克积 ( A \otimes B ) 将是：

[ A \otimes B = \begin{pmatrix} 1 \cdot B & 2 \cdot B \ 3 \cdot B & 4 \cdot B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 0 & 10 \ 6 & 7 & 12 & 14 \ 0 & 15 & 0 & 20 \ 18 & 21 & 24 & 28 \end{pmatrix} ]

这样就得到了一个 ( 4 \times 4 ) 的新矩阵。克罗内克积在信号处理、量子力学等领域有广泛应用。

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