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小F对杨辉三角颇有研究,他把杨辉三角第nn行的数提出来,从左到右分别为a[0],a[1],...,a[n−1]a[0],a[1],...,a[n−1]。
现在他想知道∑i=0n−1i2×a[i]∑i=0n−1i2×a[i]的值是多少,答案对9982435399824353取模。
输入一个正整数nn,n≤1018n≤1018。
输出题目中式子的值,答案对9982435399824353取模。
示例1
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首先,有:\(\Sigma_{i = 0}^nC_n^n = 2^n\) 以及 \(kC_n^k = (n - 1)C_{n - 1}^{k - 1}\)。
原式 = \(\Sigma_{i = 0}^{n - 1}i^2C_{n - 1}^i = \Sigma_{i = 0}^{n - 1}i\times iC_{n - 1}^i = \Sigma_{i = 0}^{n - 1}i\times (n - 1)\times C_{n - 2}^{i - 1} = (n - 1)\times \Sigma_{i = 0}^{n - 1}(i-1+1)\times C_{n - 2}^{i - 1}\)
拆成两部分:
\(原式=(n - 1)\times \Sigma_{i = 1}^{n - 1}C_{n - 2}^{i - 1} + (n - 1)\times \Sigma_{i = 1}^{n - 1}(i - 1)C_{n - 2}^{i - 1} = (n - 1)2^{n - 2} + (n - 1)(n - 2)2^{n - 3} = n(n - 1)2^{n - 3}\)
快速幂搞一下即可。注意特判n = 1, 2的情况,不然会t到妈妈都不认识,以及一定要模全不然可能溢出
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define mod 99824353 long long fpow(long long a, long long b) { long long ans = 1; for(; b; b >>= 1) { if(b & 1) ans = ans * a % mod; a = a * a % mod; } return ans; } int main() { long long n; cin >> n; if(n == 1) { cout << 0; return 0; } else if(n == 2) { cout << 1; return 0; } long long ans = 0; ans = ((n % mod) * ((n - 1) % mod)) % mod * fpow(2, n - 3) % mod; cout << ans; } //423543523543332