考虑n次伯努利试验,其中i = 1,2,...,n,第i次试验成功的概率为,令X为表示总成功次数的随机变量。令对所有i = 1,2,...,n有
。证明:对于
,
证明:
这里我们进行一个更强的证明:
考虑仅增大其中一次试验的成功概率,不妨记为,其中
,并记总成功次数随机变量为
,有
构造辅助函数
易知
列出系数第一项
考虑相邻两项系数间的关系 与
,每项系数均可写成
形式,即:
其中是之前我们选择增大的那次试验成功概率
注意与
间的生成关系,在
中
被选中的情况分为两种:
1、在时已被选中,由
中未选中的某次变为选中得到(与2中重复)
2、在时未被选中,由
对应的
变为
得到(无重复)
因此有
回到:
可推出
其中
因此
即
原命题也得证