伴随矩阵（Adjugate Matrix）是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的逆、行列式等密切相关。给定一个 ( n \times n ) 的方阵 ( A )，伴随矩阵通常用 (\text{adj}(A)) 表示，它是由矩阵 ( A ) 的余子式（cofactor）构成的。具体来说，伴随矩阵的定义如下：

1. 余子式：给定矩阵 ( A ) 的每个元素 ( a_{ij} )，其余子式 ( M_{ij} ) 是去掉第 ( i ) 行和第 ( j ) 列后剩余矩阵的行列式。

2. 代数余子式（cofactor）：代数余子式 ( C_{ij} ) 定义为： [ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} ]

3. 伴随矩阵：伴随矩阵 (\text{adj}(A)) 是由 ( A ) 的代数余子式转置而成的矩阵： [ \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & \dots & C_{n1} \ C_{12} & C_{22} & \dots & C_{n2} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ C_{1n} & C_{2n} & \dots & C_{nn} \end{bmatrix} ]

性质

1. 与行列式的关系：如果 ( A ) 是一个非奇异矩阵（行列式不为零），则有： [ A \cdot \text{adj}(A) = \det(A) \cdot I ] 其中 ( I ) 是单位矩阵。

2. 逆矩阵的表达：如果 ( A ) 是可逆的，那么其逆矩阵可以用伴随矩阵表示： [ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) ]

伴随矩阵在计算矩阵的逆和求解线性方程组中有重要的应用。

标签： 来源：

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。