题目描述

在\(Mars\)星球上，每个\(Mars\)人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有\(N\)颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是\(Mars\)人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为\(m\)，尾标记为\(r\)，后一颗能量珠的头标记为\(r\)，尾标记为\(n\)，则聚合后释放的能量为\(m \times r \times n\)（\(Mars\)单位），新产生的珠子的头标记为\(m\)，尾标记为\(n\)。

需要时，\(Mars\)人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设\(N=4\)，\(4\)颗珠子的头标记与尾标记依次为\((2,3) (3,5) (5,10) (10,2)\)。我们用记号\(⊕\)表示两颗珠子的聚合操作，(\(j⊕k\))表示第\(j,k\)两颗珠子聚合后所释放的能量。则第\(4\)、\(1\)两颗珠子聚合后释放的能量为：

\((4⊕1)=10 \times 2 \times 3=60\)。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：

\(((4⊕1)⊕2)⊕3）=10 \times 2 \times 3+10 \times 3 \times 5+10 \times 5 \times 10=710\)。

输入格式

第一行是一个正整数\(N(4≤N≤100)\)，表示项链上珠子的个数。第二行是\(N\)个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过\(1000\)。第\(i\)个数为第\(i\)颗珠子的头标记\((1≤i≤N)\)，当\(i<N\)时，第\(i\)颗珠子的尾标记应该等于第\(i+1\)颗珠子的头标记。第\(N\)颗珠子的尾标记应该等于第\(1\)颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式

一个正整数\(E(E≤2.1 \times (10)^9)\)，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

输入输出样例

输入 #1 复制

4
2 3 5 10

输出 #1 复制

710

说明/提示

\(NOIP\ 2006\) 提高组 第一题

思路

这是一道经典的区间动态规划的题目。

如果还没有学过的可以做一下这道题洛谷P1043数字游戏，题解：参见这篇博客

都是要破环成链，和数字游戏一样的做法，再来一个序列加在后面，就解决了环的问题。

用\(f_{i,j}\)表示从第\(i\)个珠子到第\(j\)个珠子最多可以得到多少能量。

然后就是状态转移公式：

\(f_{i,j}=\max\{f_{i,k}+f_{k+1,j}+a_i\times a_{k+1}\times a_{j+1},i\leq k<j\}\)，其实就是左边的能量+右边的能量+合成时的能量，\(a_i\)是第\(i\)个头标，\(a_{k+1}\)是第\(k+1\)个珠子的头标，\(a_{j+1}\)是第\(j\)个珠子的尾标。

最后我偷点懒，\(ans\)就直接在\(dp\)过程中求出来。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a[201],f[201][201];
int ans;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),a[i+n]=a[i];
	for(int i=n*2;i>=1;i--){
		for(int j=i+1;j<=n*2&&j-i<n;j++){//区间做多只能有n个,不能合成长度大于n的项链
			for(int k=i;k<j;k++){
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1]);
			}
			ans=max(ans,f[i][j]);
		}
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

谢谢--zhengjun