乘法逆元和求法

基本的数论知识，有必要补一发。

开始之前

模运算：取余运算，比如 \(a \bmod b\) 就是 \(a\) 除以 \(b\) 得到的余数。

性质：在加、减、乘、乘方的运算过程中，进行取余运算，不会对结果产生影响。

优先级：取余运算的优先级和乘法、除法的优先级相同，高于加减法的优先级。

同余（这个比较重要）： 对于整数 \(m\)，如果整数 \(a,b\) 满足 \((a-b) \bmod m=0\)，即 \((a-b) \div m\) 得到的是一个整数值，则称整数 \(a\) 与 \(b\) 对模 \(m\) 同余，记作 \(a\equiv b \pmod{m}\)。

互质：表示两个数的最大公约数为 \(1\)，表示为 \((x,y)=1\)

问题背景

求解 \(\dfrac{a}{b} \bmod p\) 的值，因为不能先对 \(a,b\) 取模再相除，所以引入了逆元。

逆元可以理解为 \(\bmod p\) 意义下 \(b\) 的倒数。
假设 \(inv_b\) 为 \(b\) 的逆元，则有 $$inv_b \times b \equiv 1 \pmod{p}$$
即 \(\left( inv_b -1 \right) \bmod p =0\)

性质

第一个性质

\[\dfrac{a}{b} \equiv a \times inv_b \pmod{p} \]

证明：

\[\because b \times inv_b \equiv 1 \pmod{p} \]

\[\therefore \left( b \times inv_b -1 \right) \bmod p =0 \]

\[\because x \bmod p= x \times y \bmod p \]

\[\therefore \dfrac{a}{b} \times (b \times inv_b -1) \bmod p =0 \]

\[\therefore (a \times inv_b - \dfrac{a}{b}) \bmod p =0 \]

\[\therefore \dfrac{a}{b} \equiv a \times inv_b \pmod{p} \]

得证。

唯一性

性质

每个数的逆元唯一。

证明

假设 \(b\) 有两个逆元 \(x,y\)。
则可知 \(a \times x \equiv a \times y \pmod{p}\)

\[\therefore \left(a \times \left( x - y \right) \right) \bmod p =0 \]

\[\because a \bmod p \ne 0 \]

\[\therefore x=y \]

所以每个数的逆元唯一。

逆元求法：

快速幂

这个做法的基础是费马小定理：

若 \(p\) 为质数，\(a\) 为正数，且 \((a,p)=1\)，则有 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)。

根据逆元的定义 \(inv_a \times a \equiv 1 \pmod{p}\) 可知：$$\because inv_a \times a \equiv a^{p-1} \pmod{p}$$

\[\therefore inv_a \equiv a^{p-2} \pmod{p} \]

也就是说，一个数 \(i\) 在模 \(p\) 意义下的逆元就是 \(i^{p-2} \bmod p\)。
用快速幂计算即可。

int x,p;
int ksm(int a,int b){int s=1,t=a;while(b){if(b&1)s=(s*t)%p;t=(t*t)%p;b>>=1;}return s;}
int main(){cin>>x>>p;cout<<ksm(x,p-2)<<endl;}

剩下的要咕咕咕了，CF 马上要开始了……