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275. 传纸条

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。

一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 \(m\) 行 \(n\) 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。

幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。

纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 \((1,1)\)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 \((m,n)\)。

从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。

班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙，反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 \(0\) 表示），可以用一个 \(0∼100\) 的自然数来表示，数越大表示越好心。

小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。

现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

第一行有 \(2\) 个用空格隔开的整数 \(m\) 和 \(n\)，表示学生矩阵有 \(m\) 行 \(n\) 列。

接下来的 \(m\) 行是一个 \(m×n\) 的矩阵，矩阵中第 \(i\) 行 \(j\) 列的整数表示坐在第 \(i\) 行 \(j\) 列的学生的好心程度，每行的 \(n\) 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

数据范围

\(1≤n,m≤50\)

输入样例：

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出样例：

34

解题思路

dp

• 状态表示：\(f[i][j][k]\) 表示两条路径终点分别为 \((i-j,j)\) 和 \((i-k,k)\) 时的最大的和

• 状态计算：

• • \(j\neq k\) 时，\(f[i][j][k]=max(\{f[i][j][k],f[i-1][j-1][k],f[i-1][j][k-1],f[i-1][j-1][k-1],f[i-1][j][k]\})+a[j][i-j]+a[k][i-k]\)
• • \(j-k\) 时，\(f[i][j][k]=max(\{f[i][j][k],f[i-1][j-1][k],f[i-1][j][k-1],f[i-1][j-1][k-1],f[i-1][j][k]\})+a[j][i-j]\)

分析：同步计算，当两者走到的纵坐标相等时说明走到了同一个位置，这时只能取一个值

• 时间复杂度：\(O(n^2\times (n+m))\)

代码

// Problem: 传纸条
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/277/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}


int f[205][105][105],n,m,a[105][105];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)cin>>a[i][j];
    for(int i=2;i<=n+m;i++)
    	for(int j=1;j<i&&j<=n;j++)
    		for(int k=1;k<i&&k<=n;k++)
    		{
    			if(i-j>m||i-k>m)continue;
    			int &t=f[i][j][k];
    			t=max({t,f[i-1][j-1][k],f[i-1][j][k-1],f[i-1][j-1][k-1],f[i-1][j][k]});
    			t+=a[j][i-j];
    			if(j!=k)t+=a[k][i-k];
    		}
    cout<<f[n+m][n][n];
    return 0;
}