1.应用前景

​ 可以用于航空武器系统的误差分析,特别是函数误差的计算。蒙特卡洛法和协方差法是武器系统误差分析中的两种常用方法。其基本思想是通过对随机变量的模拟,对模拟结果进行统计分析,最终给出问题数值解的估计值。

2.武器系统误差的(MonteCarlo)分析方法

​ 设系统的输入与输出之间的关系为:
W = G ( X ) \mathbf{W}=\mathbf{G}(\mathbf{X}) W=G(X)
​ 式子中 X = ( X 1 , X 2 , . . . X n ) T \mathbf{X}=(X_1,X_2,...X_n)^T X=(X1​,X2​,...Xn​)T是系统输入变量,而 W = ( w 1 , w 2 , . . . w m ) T \mathbf{W}=(w_1,w_2,...w_m)^T W=(w1​,w2​,...wm​)T是系统输出变量, G ( X ) = ( g 1 ( x ) , g 2 ( x ) , . . . g ( x ) ) T G(\mathbf{X})=(g_1(\mathbf{x}),g_2(\mathbf{x}),...g(\mathbf{x}))^T G(X)=(g1​(x),g2​(x),...g(x))T是系统输入与输出间的函数关系。而 ε X \varepsilon_X εX​是输入系统误差, δ X \delta_X δX​是输入随机误差。
X = X 0 + Δ X = X 0 + δ X + ε X \mathbf X=\mathbf X_0+\Delta \mathbf{X}=\mathbf X_0+\mathbf{\delta_X}+\mathbf \varepsilon_X X=X0​+ΔX=X0​+δX​+εX​

​ 其中有 E ( X ) = X 0 + ε X ， E ( δ x δ x T ) = C o v ( Δ X , Δ X ) E(\mathbf X)=\mathbf X_0 + \varepsilon_X，E(\delta_x\delta_x^T)=Cov(\Delta X,\Delta X) E(X)=X0​+εX​，E(δx​δxT​)=Cov(ΔX,ΔX)。系统的输出误差为:
Δ W = G ( X 0 + Δ X ) − G ( X 0 ) \Delta \mathbf{W}=\mathbf{G}(\mathbf{X_0}+\Delta \mathbf X)-\mathbf G(\mathbf{X_0}) ΔW=G(X0​+ΔX)−G(X0​)
函数误差分析计算的目的是确定 E ( Δ W ) , C o v ( Δ W , Δ W ) E(\Delta\mathbf W),Cov(\Delta \mathbf W,\Delta \mathbf W) E(ΔW),Cov(ΔW,ΔW)。 E ( Δ W ) E(\Delta\mathbf W) E(ΔW)描述了系统输出系统误差的大小, C o v ( Δ W , Δ W ) Cov(\Delta \mathbf W,\Delta \mathbf W) Cov(ΔW,ΔW)描述了系统输出随机误差的大小:
E ( Δ W ) = E ( W ) − G ( X 0 ) , C o v ( Δ W , Δ W ) = C o v ( W , W ) E(\Delta \mathbf{W})=E(\mathbf W)-G(\mathbf X_0),Cov(\Delta \mathbf W,\Delta \mathbf W)=Cov( \mathbf W, \mathbf W) E(ΔW)=E(W)−G(X0​),Cov(ΔW,ΔW)=Cov(W,W)
​ 所以就要求出 E ( W ) E(\mathbf{W}) E(W)和 C o v ( W , W ) Cov( \mathbf W, \mathbf W) Cov(W,W)即可。若能得到随机向量 W \mathbf W W的 N N N个抽样值 { W ( i ) } i = 1 N \{\mathbf W^{(i)}\}_{i=1}^N {W(i)}i=1N​，由大数定理有:
∀ ϵ > 0 , l i m N → ∞ P { ∣ 1 N ∑ i = 1 N W i − E W ∣ < ϵ } = 1 \forall \epsilon>0,lim_{N\rightarrow \infty}P\{|\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\mathbf W_i-E\mathbf W|<\epsilon\}=1 ∀ϵ>0,limN→∞​P{∣N1​i=1∑N​Wi​−EW∣<ϵ}=1
​ 同样的中心极限定理(其中 σ W ≈ σ W ^ = S ω \sigma_{\mathbf{W}} \approx \hat{\sigma_{\mathbf{W}}}=S_{\omega} σW​≈σW​^​=Sω​为 ω \omega ω的标准差)也有:
l i m N → ∞ P { ∣ 1 N ∑ i = 1 N W i − E W ∣ < λ α σ W N } = 2 2 π ∫ 0 λ α e − t 2 2 d t = 1 − α lim_{N\rightarrow \infty}P\{|\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\mathbf W_i-E\mathbf W|<\frac{\lambda_{\alpha}\sigma_{\mathbf{W}}}{\sqrt{N}}\}=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\lambda_{\alpha}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=1-\alpha limN→∞​P{∣N1​i=1∑N​Wi​−EW∣<N ​λα​σW​​}=2π ​2​∫0λα​​e−2t2​dt=1−α
​ 设 W ˉ = 1 N ∑ i = 1 N W i \bar{W}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\mathbf W_i Wˉ=N1​∑i=1N​Wi​,那么输出的样本协方差矩阵为:
C W 2 = 1 N − 1 ∑ i = 1 N ( W ( i ) − W ˉ ) ( W ( i ) − W ˉ ) T = { c j k } m × m C_{\mathbf{W}}^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N(\mathbf W^{(i)}-\bar{\mathbf W})(\mathbf W^{(i)}-\bar{\mathbf W})^T=\{c_{jk}\}_{m\times m} CW2​=N−11​i=1∑N​(W(i)−Wˉ)(W(i)−Wˉ)T={cjk​}m×m​
​ 函数误差分析计算的算法是蒙特卡洛方法,首先必须模拟产生输出随机向量 W \mathbf W W的抽样值,进一步是要模拟得到输入值 { X ( i ) } i = 1 N \{\mathbf X^{(i)}\}_{i=1}^N {X(i)}i=1N​。“将对输出随机向量抽样值的模拟产生问题,转化为对输入随机向量抽样值的模拟产生问题”。所以,函数误差分析计算的蒙特卡洛法,关键问题是如何利用这些已知条件产生输入随机向量的抽样值。其特点有运算量大,精度不高，收敛速度慢,无法看出某个输入对总体影响程度的估计,但是具有一般性,适应面宽的特点。