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原文出处：拓端数据部落公众号

概要

本文用 R 编程语言极值理论 (EVT) 以确定 10 只股票指数的风险价值（和条件 VaR）。使用 Anderson-Darling 检验对 10 只股票的组合数据进行正态性检验，并使用 Block Maxima 和 Peak-Over-Threshold 的 EVT 方法估计 VaR/CvaR。最后，使用条件异向性 (GARCH) 处理的广义自回归来预测未来 20 天后指数的未来值。本文将确定计算风险因素的不同方法对模型结果的影响。

极值理论（最初由Fisher、Tippett和Gnedenko提出）表明，独立同分布（iid）变量样本的分块最大值的分布会收敛到三个极值分布之一。

最近，统计学家对极端值建模的兴趣又有了新的变化。极限值分析已被证明在各种风险因素的案例中很有用。在1999年至2008年的金融市场动荡之后，极值分析获得了有效性，与之前的风险价值分析不同。极限值代表一个系统的极端波动。极限值分析提供了对极端事件的概率、规模和保护成本的关系进行建模的能力。

参考

https://arxiv.org/pdf/1310.3222.pdf
https://www.ma.utexas.edu/mp_arc/c/11/11-33.pdf
http://evt2013.weebly.com/uploads/1/2/6/9/12699923/penalva.pdf
Risk Measurement in Commodities Markets Using Conditional Extreme Value Theory

第 1a 部分 - 工作目录、所需的包和会话信息

为了开始分析，工作目录被设置为包含股票行情的文件夹。然后，安装所需的 R 编程语言包并包含在包库中。R 包包括极值理论函数、VaR 函数、时间序列分析、定量交易分析、回归分析、绘图和 html 格式的包。

1.   library(ggplot2)
2.   library(tseries)
3.   library(vars)
4.   library(evd)
5.   library(POT)
6.   library(rugarch)
7.    

第 1b 节 - 格式化专有数据

用于此分析的第一个文件是“Data_CSV.csv”。该文件包含在 DAX 证券交易所上市的 15 家公司的股票代码数据，以及 DAX 交易所的市场投资组合数据。从这个数据文件中选出了 10 家公司，这些公司最近十年的股价信息是从谷歌财经下载的。

第 1c 节 - 下载股票代码数据

股票价格数据下载并读入 R 编程环境。收益率是用“开盘价/收盘价 ”计算的，十家公司的数据合并在一个数据框中，（每家公司一列）。

结果数据帧的每一行代表记录股价的 10 年中的一个工作日。然后计算数据帧中每一行的均值。一列 10 年的日期被附加到数据框。还创建了仅包含行均值和日期信息的第二个数据框。

1.   alDat <- cbind(retursDaa, returnDta_A,
2.   retrnsata_Ss, reunsataDB,
3.   retunsDta_H, reurnsDta_S, rtunsDaaA,
4.   retrnsaa_senus,reursDtaAlnz,
5.   reurnsData_ailer)

第 2a 节 - 探索性数据分析

创建一个数据框统计表，其中包含每列（或公司）的最小值、中值、平均值、最大值、标准偏差、1% 分位数、5% 分位数、95% 分位数、99% 分位数。分位数百分比适用于极值。还创建了所有收益率均值的时间序列图表。

1.    
2.   taeSs<- c(min(x), medan(x), man(x),
3.   max(x), sd(x), quntile(x, .01),
4.   quanile(x, .05), qunile(x, .95),
5.   quatile(x, .99), lngth(x))
6.    
7.    

第 2b 节 - 10 只股票指数的 VaR 估计

1.   all_va.2 <- VAR(lDvarts, p = 2, tpe= "cnst")
2.    
3.   # 预测未来125天、250天和500天
4.   aDFva100 <- pdc(alDva.c, n.aea = 100, ci = 0.9)

为了开始估算数据所隐含的未来事件，我们进行了初步的风险值估算。首先，所有行的平均值和日期信息的数据框架被转换为时间序列格式，然后从这个时间序列中计算出风险值。根据VaR计算对未来100天和500天的价值进行预测。在随后的预测图中，蓝色圆圈代表未来100天的数值，红色圆圈代表500天的回报值。

1.   plot（ap0$t$Tme[1:1200],
2.   alF_ar.d.$fst[1:1200]）

第 2c 部分 - 估计期望shortfall(ES),条件VAR(CvaR) 10 股票指数

为便于比较，计算了10只股票指数数据的条件风险值（CvaR或估计亏损）。首先，利用数据的时间序列，找到最差的0.95%的跌幅的最大值。然后，通过 "高斯 "方法计算出估计亏损，这两种计算的结果都以表格形式呈现。

ES(s(lD1:2528, 2, rp=FAE]),p=0.95, mho="gausn")

第 2d 节 - 10 只股票指数的希尔Hill估计

由于假设10股指数数据为重尾分布，数据极少变化，所以采用Hill Estimation对尾指数进行参数估计。目的是验证 10 只股票数据是否为极值分布。Hill Estimation 生成的图证实了。

1.   hil(orvtis, otio="x", trt=15, nd=45)
2.    

第 2e 节 - 正态分布的 Anderson-Darling 检验

Anderson-Darling 检验主要用于分布族，是分布非正态性的决定因素。在样本量较大的情况下（如在 10 股指数中），小于 0.05 的 P 值表明分布与正态性不同。这是极值分布的预期。使用 Anderson-Darling 检验发现的概率值为 3.7^-24，因此证实了非正态性。

第 2f 节 - 结果表

最后，给出了10个股票指数未来价值的估计结果表。3 个 VaR 估计值（和估计差额）的点估计值和范围被制成表格以比较。

1.    
2.   VaRES[3,] <- c("ES", etFbl[1], 4)
3.   eSFbe[2], estFtbl[3],
4.   rond(eSab[4], 4))

第 3a 节 - 10 个股票指数的 EVT 分块最大值估计

极值理论中的 Block Maxima 方法是 EVT 分析的最基本方法。Block Maxima 包括将观察期划分为相同大小的不重叠的时期，并将注意力限制在每个时期的最大观察值上。创建的观察遵循吸引条件的域，近似于极值分布。然后将极值分布的参数统计方法应用于这些观察。

极值理论家开发了广义极值分布。GEV 包含一系列连续概率分布，即 Gumbel、Frechet 和 Weibull 分布（也称为 I、II 和 III 型极值分布）。

在以下 EVT Block Maxima 分析中，10 股指数数据拟合 GEV。绘制得到的分布。创建时间序列图以定位时间轴上的极端事件，从 2006 年到 2016 年。然后创建四个按 Block Maxima 数据顺序排列的图。最后，根据 gev() 函数创建 Block Maxima 分析参数表。

1.   gev(ltMeans, x=0.8, m=0)
2.    
3.    
4.   plt(alVF)
5.    

第 3b 节 - 分块最大值的 VaR 预测

为了从 Block Maxima 数据中创建风险价值 (VaR) 估计，将 10 股指数 GEV 数据转换为时间序列。VaR 估计是根据 GEV 时间序列数据进行的。未来值的预测（未来 100 天和 500 天）是从 VaR 数据推断出来的。在结果图中，蓝色圆圈表示未来 100 天的值，红色圆圈表示 500 天的收益率值。

1.    
2.   # 预测未来500天
3.   aGE500<- preit(aG_va.c, n.ad = 500, ci = 0.9)
4.    
5.   plot(aGE500pd.500)

第 3c 部分 - 分块最大值的期望损失ES (CvaR)

10只股票指数GEV数据的条件风险值（"CvaR "或 "期望损失"）被计算。首先，利用数据的时间序列，找到最差的0.95%的缩水的最大值。然后，通过极端分布的 "修正 "方法来计算 "估计亏损"，这两种计算的结果都以表格形式呈现。

1.   # 条件缩减是最差的0.95%缩减的平均值
2.   ddGV <- xdrow(aEVts[,2])
3.   # CvaR（预期亏损）估计值
4.   CvaR(ts(alE), p=0.95, meho="miie")

第 3d 节 - 分块极大值的 Hill 估计

希尔估计（用于尾部指数的参数估计）验证 10 只股票的 GEV 数据是极值分布。

第 3e 节 - 正态分布的 Anderson-Darling 检验

Anderson-Darling 检验是确定大样本数量分布的非正态性的有力决定因素。如果 P 值小于 0.05，则分布与正态性不同。通过该测试发现了一个微小的概率值 3.7^-24。

第 3f 节 - 结果表

最后，给出了对 10 股指数 GEV 未来价值的估计结果表。3 个 GEV VaR 估计值（和 GEV 期望损失）的点估计值和范围制成表格比较。

1.   G_t[3,] <- c("GEV ES",sFale[1],
2.   sStble[2], SEble[3],
3.   "NA")
4.   GRst

第 3g 节 - 分块极大值的 100 天 GARCH 预测

通过将 Block Maxima GEV 分布（10 只股票的指数）拟合到 GARCH(1,1)（广义自回归条件异型）模型，对 Block Maxima EVT 数据进行预测。显示预测公式参数表。创建一个“自相关函数”(ACF) 图，显示随时间变化的重要事件。然后，显示拟合模型结果的一组图。创建对未来 20 天（股票指数表现）的预测。最后，20 天的预测显示在 2 个图中。

1.   spec(aanc.ol = list(mel = 'eGARCH',
2.   garer= c(1, 1)),
3.   dirion = 'sd')
4.    
5.   # 用广义自回归条件异质性拟合模型
6.   alimol = ugct(pec,allV, sovr = 'ybi')
7.    
8.   cofale <- dtafe(cof(litol))
9.   oeBal
10.    
11.   plt(l.itodl)

第 4a 节 - 峰值超过阈值估计 - 10 个股票指数

在 EVT 中的峰值超过阈值方法中，选择超过某个高阈值的初始观测值。这些选定观测值的概率分布近似为广义帕累托分布。通过拟合广义帕累托分布来创建最大似然估计 (mle)。MLE 统计数据以表格形式呈现。然后通过 MLE 绘图以图形方式诊断所得估计值。

plot(Dseans, u.rg=c(0.3, 0.35))

第 4b 节 - POT 的 VaR 预测

POT 数据的风险价值 (VaR) 估计是通过将 10 个股票指数 MLE 数据转换为时间序列来创建的。VaR 估计是根据 MLE 时间序列数据进行的。未来值的预测（未来 100 天和 500 天）是从 MLE VaR 数据推断出来的。在结果图中，蓝色圆圈表示未来 100 天的值，红色圆圈表示 500 天的收益值。

1.   VAR(merts, p = 2, tp = "cost")
2.    
3.   # 预测未来125天、250天和500天
4.   mle_r.pd <- prect(e.ar, n.ahad = 100, ci = 0.9)
5.    
6.    
7.   plot(mea.prd)

第 4c 部分 - POT 的期望损失ES (CvaR) 预测

然后计算10只股票指数MLE数据的条件风险值（"CvaR "或 "期望损失ES"）。数据的时间序列被用来寻找最差的0.95%的跌幅的最大值。通过极端分布的 "修正 "方法，计算出 "期望损失ES"，两种计算的结果都以表格形式呈现。

1.   # 最差的0.95%最大回撤的平均值
2.   mdM <- maxdadw(mlvs[,2])
3.    
4.   CvaR(ldaa), p=0.95, meto="mdii",
5.   pimeod = "comnen", weghts)

第 4d 节 - 峰值超过阈值的 Hill 估计

Hill 估计（用于尾部指数的参数估计）验证 10 只股票的 MLE 数据是一个极值分布。

第 4e 节 - 正态分布的 Anderson-Darling 检验

Anderson-Darling 检验是确定大样本数量分布的非正态性的有力决定因素。如果 P 值小于 0.05，则分布与正态性不同。此测试的结果 P 值为 3.7^-24。

第 4f 节 - 结果表

最后，给出了 10 个股票指数 MLE 未来价值的估计结果表。3 个 MLE VaR 估计值（和 MLE 期望损失ES）的点估计值和范围被制成表格来比较。

第 4g 节 - 峰值超过阈值的 100 天 GARCH 预测

通过将 MLE（10 只股票指数的最大似然估计）拟合到 GARCH(1,1)（广义自回归条件异型性）模型，对峰值超过阈值 EVT 数据进行预测。显示预测公式参数表。创建了一个“自相关函数”（ACF）图，显示了随时间变化的重要事件。然后，显示拟合模型结果的一组图。然后创建对接下来 20 天（股票指数表现）的预测。最后，20 天的预测（来自峰值超过阈值 EVT extimation）显示在 2 个图中。

1.   fit(ec,ta, slvr = 'hybrid')
2.    
3.    
4.    
5.   plot(pot.fite.ol)

第 5a 节 - 估计方法影响表

下表汇总了检验 极值分布的 10 个股票的四种方法的结果。第一列包含四种估计方法的名称。提供了 VaR、ES、mu统计量和 Anderson-Darling P 值的统计量。

1.   c("VaR",
2.   round(mean(cofets),4),
3.   "NA", "NA", p.vau)
4.   c("Block Maxm", round(mean(coffies),4),
5.   MES, pr.ss[3],.vle)
6.    
7.   c("POT",
8.   round(mean(cofies), 4),
9.   MES, fitdaes, p.ale)
10.    

第 5b 节 - 结论

在对 10 家公司（在 DAX 证券交易所上市）的 10 年股票收益率进行检查后，确认将收益率百分比的变化表征为极值分布的有效性。四种分析方法的拟合值的所有 Anderson-Darling 检验都显示分布具有正态性或所有非极值值的概率不显着。这些方法在收益数据中的风险价值方面是一致的。Block Maxima 方法会产生 VaR 估计的轻微偏差。传统的 VaR 估计和 POT 估计产生相同的风险价值。与股票收益率数据的传统 CvaR 估计相比，这 2 种 EVT 方法预测的预期缺口较低。标准 QQ 图表明峰值超过阈值是最可靠的估计方法，

在对10家公司（在德国DAX证券交易所上市）10年的股票收益率进行检查后，证实了将收益率变化定性为极值分布的有效性。对四种分析方法的拟合值进行的所有安德森-达林测试显示，分布具有正态性或所有非极值的概率不大。这些方法在收益数据的风险值方面是一致的。分块最大值方法产生了一个风险值估计的偏差。传统的VaR估计和POT估计产生相同的风险值。相对于传统的股票收益率数据的CvaR估计，两种EVT方法预测的期望损失较低。标准Q-Q图表明，在10只股票的指数中，Peaks-Over-Threshold是最可靠的估计方法。

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