第九章 字符串算法（2021/11/27-by-tycube）

9.1 精确字符串匹配

9.1.1 问题描述：

• 给定文本 T T T和模式 P P P，要求返回文本 T T T能对应上模式 P P P的第一个位置，即满足 T [ s . . . s + m − 1 ] = P [ 0... m − 1 ] T[s...s+m-1]=P[0...m-1] T[s...s+m−1]=P[0...m−1]时 T [ s ] T[s] T[s]的最小下标.

9.1.2 解题思路：

1. 暴力搜索

2. Rabin-Karp算法

   2.1 基本思想：基于指纹的思想。

• 指纹思想：对于给定的T和P，通过函数处理成可以直接进行比较的值（计算代价 O ( m ) O(m) O(m)），称其为指纹。指纹相同、字符串不一定完全匹配，但指纹不相同说明字符串一定不匹配。

• 需要注意的是，模式P的指纹是固定的，但文本T对应位置的指纹无需每次完全重新计算，可以直接计算(进制一般为十进制)
  (已知的指纹值-最高位的数x当前进制^{所处位数})x进制+新加入的数字x进制

• 如图所示：

• 指纹计算：可以通过使用哈希函数 h = f m o d q h=f\quad mod \quad q h=fmodq

  • 预处理：计算 f p fp fp与 f t （ m − 1 ） ft_{（m-1）} ft（m−1）​
  • 步骤： n e w f t = ( ( f t − T [ s ] × 1 0 m − 1 m o d q ) × 10 + T [ s + m ] ) m o d q ; newft=((ft-T[s]\times 10^{m-1} mod\quad q)\times10+T[s+m])mod\quad q; newft=((ft−T[s]×10m−1modq)×10+T[s+m])modq;

2.2 伪码实现：

Rabin-Karp-Search(T,P)
 q <- a 
 //a为大于m的素数（n-m个轮换中，每第q次才需要匹配指纹）
 c <- 10^(m-1) mod q  //运行一个乘以 10 mod q 的循环
 fp <- 0; ft <- 0
 for i <- 0 to m-1  // 预处理，计算得到fp与ft
    fp <- (10*fp + P[i]) mod q
    ft <- (10*ft + T[i]) mod q
 for s <- 0 to n – m  // 匹配
    if fp = ft then   // 当指纹相同时，逐一比较字符 
       if P[0..m-1] = T[s..s+m-1] return s  
    ft <- ((ft – T[s]*c)*10 + T[s+m]) mod q//计算newft
 return –1

2.3 算法复杂性分析：

• 预处理： O ( m ) O(m) O(m)
• 外循环： O ( n − m ) O(n-m) O(n−m)
• 所有内循环： n − m q × m = O ( n − m ) \frac{n-m}{q}\times m=O(n-m) qn−m​×m=O(n−m)
• （期望）总时间： O ( n − m ) O(n-m) O(n−m)
• 最坏运行时间： O ( n m ) O(nm) O(nm)，即当每次指纹匹配但匹配字符时总是最后一个无法匹配上。

2.4 实际操作：

• 若字母表中有d个字母，将字母翻译为d进制数字。
• 选择素数q>m。

2.5 缺点分析：

• 没有利用已匹配部分的信息

3. KMP(Knuth-Morris-Pratt )算法

   3.1 思路：

   • ​ 在当前字符失配时，对于已匹配部分，找到匹配部分在模式中的最大前缀同时也是后缀的长度。

     即求出 π [ q ] = m a x { k < q ∣ P [ 1.. k ] = P [ q − k + 1.. q ] } π[q]=max\{k<q|P[1..k]=P[q-k+1..q]\} π[q]=max{k<q∣P[1..k]=P[q−k+1..q]}

   • ​ 如图所示：
     

   3.2 前缀表：

   • 基于该思想，可以预先计算模式 P P P的前缀表：

   eg 1：

   P		p	a	p	p	a	r
   q	0	1	2	3	4	5	6
   p[q]	0	0	0	1	1	2	0

   ​ eg 2：

   P		a	b	a	b	a	c	b
   q[下标+1]	0	1	2	3	4	5	6	7
   p[q]	0	0	0	1	2	3	0	0

   3.3 伪码实现

   KMP-Search(T,P)
    p <- Compute-Prefix-Table(P) //计算前缀表
    q <- 0      // 当前匹配的字符数
    for i <- 0 to n-1  // 从左至右扫描文本
       while q > 0 and P[q] ≠ T[i] do 
       //当失配时，匹配字符数赋值为p[q]，相当于扫描文本的指针i左移p[q]，但实际上文本中每个字符只比较一次
          q <- p[q]
       if P[q] = T[i] then q <- q + 1 //每匹配一个，则指针均向右扫描一位
       if q = m then return i – m + 1 //当匹配的字符数=模式长度，说明实现匹配，返回下标“i-m+1”
    return –1
   
   

​

• 模式部分：将j直接移动到k位置

3.4 复杂度分析

• 时间复杂度： O ( m + n ) O(m+n) O(m+n)
  • 主程序： O ( n ) O(n) O(n)
  • 前缀表计算： O ( m ) O(m) O(m)
• 空间复杂度： O ( m ) O(m) O(m), 存储前缀表

4. BMH(Boyer-Moore-Horspool)算法

   4.1 BM算法：

   • 逆简单算法+启发式规则： O ( m + n ) O(m+n) O(m+n)

   • 启发式规则：将失配时文本中对应的字符作为坏字符：

     1. 坏字符没出现在模式串中，这时可以把模式串移动到坏字符的下一个字符，继续比较：

     2. 坏字符出现在模式串中，这时可以把模式串第一个出现的坏字符和母串的坏字符对齐。

   4.2 BMH算法：

   • 实现思路：

     • 仅考虑启发式规则，即利用启发式规则计算偏移表。
     • 失配后直接将T[s+m-1]对齐到模式P[0…m-2]中的最右出现。

   • 偏移表：

     除最后一个元素，其余任何元素偏移量都是从当前位置到结尾需要移动的距离，相同元素取最小偏移量，若最后一个元素只在模式中出现一次，则偏移量为模式长度。

     s h i f t [ w ] = { m − 1 − m a x { i < m − 1 ∣ P [ i ] = w } , i f w i s i n P [ 0.. m − 2 ] m , o t h e r w i s e shift[w]=\begin{cases}m-1-max\{i<m-1|P[i]=w\},if\quad w\quad is\quad in\quad P[0..m-2]\\m,otherwise \end{cases} shift[w]={m−1−max{i<m−1∣P[i]=w},ifwisinP[0..m−2]m,otherwise​

     eg：P = “kettle”

     ​ shift[e] =4, shift[l] =1, shift[t] =2, shift[k] =5

   • 伪码实现：

     BMH-Search(T,P) 
      // 计算模式P偏移表
      for c <- 0 to |∑|- 1
         shift[c] = m       //初始化
      for k <- 0 to m - 2
         shift[P[k]] = m – 1 - k	//计算偏移，从左向右计算，可以计算得到每个元素对应的最小偏移量
      // 搜索
      s <- 0 //文本部分的开头
      while s ≤ n – m do //当还没有比较到末位，即文本中剩余可以进行比较的字符数大于模式长度时。
         j <- m – 1   // 逆序比较，故j从m-1开时向前比较。
         // check if T[s..s+m–1] = P[0..m–1]
         while T[s+j] = P[j] do
            j <- j - 1
            if j < 0 return s
         s <- s + shift[T[s + m – 1]]   // 失配时，文本右移T[s+m-1]对应字符的偏移量。
      return –1
     
     

   过程图解：

   ​

   【复杂度分析】：

   • 时间复杂度：
     • 预处理： O ( m + ∣ ∑ ∣ ) O(m+|∑|) O(m+∣∑∣)
     • 搜索过程： O ( n m ) O(nm) O(nm)
     • 总计： O ( m n ) O(mn) O(mn)
   • 空间复杂度：
     • O ( ∑ ) O(∑) O(∑)，偏移表所需空间

9.2 字符串查找数据结构

9.2.1 字符串的ADT

• search(x)、insert(x)、delete(x)
• n个字符串，N个字母，m为需要的操作字符串x的长度，字母表的大小d=|Σ|

9.2.2 字符串的BST

• 使用二分查找树
  • 二叉搜索树（Binary Search Tree）是具有二叉树结构，每个节点都有一个可比较的Key , 并且对于任何一个节点而言，它的左边的所有节点的Key都比它的Key小，右边所有节点的Key都比它的Key大。

9.2.3 字符串的Tries(前缀树、字典树)

1. Trie的性质：

   1. 多路树-每个节点儿子数为含有当前节点为前缀的字符串总数
   2. 根节点不包含字符
   3. 每条边标记一个字符
   4. 每个叶子节点存储字符串，该字符串是从根到叶子所有字符的连接体。

2. Trie的搜索与插入：

   • 搜索：自上而下

     Trie-Search(t, P[k..m])  //在字典树t中搜索字符串P
      if t is leaf then return true //当t是一个叶子，即P已经扫描到叶子节点，说明当前叶子存储字符串P
      //如果扫描到的节点不是字符串P的节点，直接false
      else if t.child(P[k])=null then return false 
      //否则，扫描当前节点的子节点
           else return Trie-Search(t.child(P[k]), P[k+1..m])
     

   • 插入：

     Trie-Insert(t, P[k..m]) //在t中插入字符串[k..m]
      if t is not leaf then  //当确认P不在t中，执行插入操作
         if t.child(P[k])=null then 
         //如果当前扫描到的字符树节点不属于t的子节点，直接创建新节点
             创建 t 的新孩子和从该孩子开始并存储在 P[k..m] 的“分支” 中 
         //否则插入P[k+1..m]进入t的以P[k]开始的子树中
         else Trie-Insert(t.child(P[k]), P[k+1..m])
     

   • 删除：自底向上，删除直到当前节点含有其他子节点（包括叶子节点）

3. Trie的分析：

   • 最坏情况：$O(N)
   • { 搜 索 − O ( d m ) 插 入 − O ( m l g d ) 删 除 − O ( m ) \begin{cases}搜索-O(dm)\\插入-O(mlgd)\\删除-O(m)\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​搜索−O(dm)插入−O(mlgd)删除−O(m)​,m为字符串的长度

9.2.4 紧缩Trie

• 

• 紧缩Tries II

  • 数组存放字符串，trie中的边存放字符在数组中的位置。
    • 
    • 

• Patricia trie

  • 边标记改为**(字符串开头, 字符串长度)**，将文本的比较推迟到最后。

    • 

    • 伪码：（单词前缀查询P[0…m-1]）

      Patricia-Search(t, P, k)     
       if t is leaf then //如果t是叶子节点，将t在列表中的第一个索引赋值给j
          j <- the first index in the t.list
          if T[j..j+m-1] = P[0..m-1] then //若从j到j+m-1也能匹配上，返回对应的t的列表
             return t.list    // 匹配成功
       else if there is a child-edge (P[k],s) then //如果t中有一条P[k]为开头，长度为s的字符边
               if k + s < m then  //当加入该字符串后还没有扫描到P[m-1]
                  return Patricia-Search(t.child(P[k]), P, k+s)
                  //从t树的P[k]节点查找其子树中对应P[k+s,...m-1]的部分
             else 转到任意t的叶子， 进行第4行的操作
             		if it is true, 返回 t 的所有后代叶子的列表
            		otherwise return nil     
       else return null   // nothing is found   
      

9.2.5 文本搜索问题

• 后缀树
• Pat树