C++题解 KMP字符串

题目描述

给定一个模式串 \(S\)，以及一个模板串 \(P\)，所有字符串中只包含大小写英文字母以及阿拉伯数字。

模板串 \(P\) 在模式串 \(S\) 中多次作为子串出现。

求出模板串 \(P\) 在模式串 \(S\) 中所有出现的位置的起始下标。

输入格式

第一行输入整数 \(N\)，表示字符串 \(P\) 的长度。

第二行输入字符串 \(P\)。

第三行输入整数 \(M\)，表示字符串 \(S\) 的长度。

第四行输入字符串 \(S\)。

输出格式

共一行，输出所有出现位置的起始下标（下标从 0 开始计数），整数之间用空格隔开。

数据范围

\(1≤N≤105\)
\(1≤M≤106\)

输入样例：

3
aba
5
ababa

输出样例：

0 2

思路

一、初识KMP

KMP介绍

KMP是一种字符串匹配算法，通常我们对于两个字符串匹配，一般使用两个循环嵌套进行暴力求解，很显然时间复杂度为\(O(m*n)\)，是非常不乐观的，而KMP的时间复杂度可以优化到\(O(m+n)\)。

KMP算法由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现，因此人们称它为克努特——莫里斯——普拉特操作（简称KMP算法）

KMP相关概念

我们称要匹配的字符串 s[] 为模式串， 类似地，称 p[] 为模板串，同时有一个 next[] 数组。

字符串前一部分 与 字符串后一部分 的一串字符相等时，我们分别称之为 匹配前缀 和 匹配后缀。

KMP匹配原理

如上文所述，朴素算法我们使用两个循环暴力匹配，每次匹配失败，将模板串移动一位继续匹配但是这会造成许多无意义的匹配。为了解决这个问题，我们一定想要模板串能向后移动一段较长距离，这样就能减少时间消耗。那么这么最长距离怎么获得呢？

如上图，在匹配失败处的前一串字符，我们可以找到最长 匹配前缀 和 匹配后缀 ，它们是 ab ，匹配失败处前这段字符串我们已经和匹配串匹配了，意味着我们不需要再次匹配，于是我们移动整个模板串向后，使得 匹配前缀 对齐 匹配后缀 ，于是我们可以继续从 匹配前缀 的后一个字符继续开始匹配了，这段操作为我们节省了不少时间。

下面放一个KMP匹配过程，大家再体验一下。

二、NEXT数组

我们对上述 移动模板串使得匹配前缀与匹配后缀对齐 这一行为进行量化，得到的是 NEXT数组。

NEXT 数组的含义即：当前位置的字符不匹配时，我们应该返回到哪个位置继续进行匹配。

NEXT数组的构造

在这里举个例子，对于模板串 ababc ，我们构造得出以下 NEXT 数组：

注意：此处模板串数组下标从1开始

这里先贴出NEXT构造函数的代码，此处模板串数组下标从1开始

for (int i = 2, j = 0; i <= n; i ++ )
{
    while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
    if (p[i] == p[j + 1]) j ++ ;
    ne[i] = j;
}

此处以对 next[n + 1] 求解举例，我们求解 next[n + 1] ，说明对于 next[1]...next[n] 我们肯定是已知的。

很显然我们有三种情况：

1. n + 1 == next[n]

这种情况很显然， next[n + 1] = next[n] + 1 ， 因为每往后一位，最长匹配前后缀 最多只能加1。

2. n + 1 != next[n]

在图中，表现为 a != c ，这时候怎么办呢，我们会匹配 next[next[n]] ，此时匹配 a == a ，发现是匹配的，于是 next[n + 1] = next[next[n]] = 3 。

为什么会这样呢，我们看向上图，第一次匹配的时候我们发现 粉色 方框内的字符串是 \(n\) 之前的 最长匹配前后缀 ，而我们的 \(n+1\)不能进行情况1那样的对前一个 最长匹配前后缀 的延长，我们退而求其次，发现粉色框中，四个蓝色框是匹配的，因为粉色 = 粉色，而蓝色属于粉色内的 最长匹配前后缀， 所以四个蓝色也相等。我们便如此递推，直到第三种情况。

3. next[n + 1] = 1

如果n + 1前没有 最长匹配前后缀， 那我们只好重头匹配了，于是next[n + 1] = 1 。

三、总结

KMP算法的精髓在于对已知信息的充分利用，这体现在待匹配串的匹配上面，更用于预处理时自己匹配自己上面，总而言之，KMP算法是非常值得学习的。

代码实现

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010, M = 1000010;

int n, m;
int ne[N];
char s[M], p[N];

int main()
{
    cin >> n >> p + 1 >> m >> s + 1;

    for (int i = 2, j = 0; i <= n; i ++ )
    {
        while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
        if (p[i] == p[j + 1]) j ++ ;
        ne[i] = j;
    }

    for (int i = 1, j = 0; i <= m; i ++ )
    {
        while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
        if (s[i] == p[j + 1]) j ++ ;
        if (j == n)
        {
            printf("%d ", i - n);
            j = ne[j];
        }
    }

    return 0;
}