简要题意：

在长度为 \(l\) 的数轴上均匀随机 \(n\) 个区间，求被至少 \(k\) 个区间覆盖的长度期望。

这个描述已经足够形式化了，下面直接开始推导。

设 P_x 为每个点合法的概率，二项式反演有：

$$P_x=\sum_{i=k}^n\binom{n}{i}(2x(1-x))^i(1-2x(1-x))^{n-i}$$

枚举 \(k\)，则

$$answer =\int_0^1\sum_{i=k}^n\binom{n}{i}(2x(1-x))^i(1-2x(1-x))^{n-i}dx$$

提出组合数，交换求和顺序，得到

$$answer =\sum_{i=k}^n\binom{n}{i}\sum_{j=0}^{n-i}(-1)^j\binom{n-i}{j}2^{i+j}\int_0^1x^{i+j}(1-x)^{i+j}dx$$

接着我们发现后面是一个 \(\text{Beta}\) 积分，代入定义：

$$answer =\sum_{i=k}^n\binom{n}{i}\sum_{j=0}^{n-i}(-1)^j\binom{n-i}{j}2^{i+j} \text{B}(i+j+1,i+j+1)$$

展开二项式系数，转化为差卷积形式，结合 \(\text{NTT}\) 可以做到 \(O(n \log n)\)。

Elegia 教导我，fix 一下 \(i,j\)，我们考虑组合恒等式：

枚举 \(i + j\)，此时瓶颈变为了二项式系数求和，代入并交换求和顺序得到：

$$answer=\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}\binom{i-1}{i-k}\binom{n}{i}2^iB(i+1,i+1)$$

至此，我们以 \(O(n)\) 的时间复杂度解决了这个问题。

Upd：上文的组合恒等式可以视作平行求和的逆过程，至于有什么组合意义还待讨论