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2020ICPC沈阳站 D-Journey to Un'Goro

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题目链接:2020ICPC沈阳站 D-Journey to Un'Goro

题目大意:
给定一个整数\(n(n\leq 1e5)\)表示一个只由字符\(r\)和\(b\)构成的字符串序列的长度,对于该序列的任意一个子序列,当该子序列中\(r\)的个数为奇数时,则称该子序列为“满意”。要求构造一系列这样的字符串序列使得其中“满意”的子序列个数最大,输出最大个数,另外,这样的序列一般不唯一,题目要求按字典序输出前\(100\)个构造的序列。

题解:
这里要从序列前缀中\(r\)个数的奇偶性上去考虑。

设\(P_i\)表示长度为\(i\)的字符序列前缀中\(r\)的个数,那么由题意可知子序列\((i, j)\)中\(r\)的个数为\(P_j - P_{i-1}\),当且仅当\(P_j\)与\(P_i-1\)的奇偶性不同时,\(P_j-P_{i-1}\)为奇数。

那么题目就转化为构造这样的字符串序列,使得序列\(P_0, P_1, P_2...P_n\)​中满足\(P_i\)和\(P_j\)的奇偶性不同的对数最大,设序列\(P_0, P_1, P_2...P_n\)​中奇数个数为\(X\),偶数个数为\(Y\),则满足\(P_i\)和\(P_j\)的奇偶性不同的对数为\(XY\),很容易想明白\(XY=\lfloor(n+1)/2\rfloor\times\lceil(n+1)/2\rceil\),其实就是\(X\)和\(Y\)各取一半时乘积最大。

而同时发现题目只要求输出前\(100\)个序列,因此可以搜索+剪枝过掉,在\(dfs\)时分别记录当前偶数个数\(cnt_0\)和奇数个数\(cnt_1\),当\(max\{cnt_0,cnt_1\}>\lceil(n+1)/2\rceil\)时就剪掉。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int n, cnt, limit;
char S[100010];

void dfs(int k, int cnt0, int cnt1, bool st) {
    if (cnt0 > limit || cnt1 > limit) return;
    if (k == n) {
        printf("%s\n", S);
        if (++cnt >= 100) exit(0);
        return;
    }
    S[k] = 'b';
    dfs(k + 1, cnt0 + (st ^ 1), cnt1 + st, st);
    st ^= 1;
    S[k] = 'r';
    dfs(k + 1, cnt0 + (st ^ 1), cnt1 + st, st);
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    long long ans = 1ll * ((n + 1) / 2) * ((n + 2) / 2);
    limit = (n + 2) / 2;
    printf("%lld\n", ans);
    dfs(0, 1, 0, 0);
    return 0;
}
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