二进制

​ 计算机中的数据均以二进制形式保存。二进制跟十进制相似，但是只有0，1，逢2进1，十进制中的2就是二进制中的10。

1 十进制与二进制的转化

1.1 二进制转换成十进制：

1110 ₍₂₎= 1 * 2³+1 * 2²+1 * 2¹+0 * 2⁰ = 14

1.2 十进制转换成二进制

问题：12_（10）= ____₍₂₎ 

这时候我们可以利用短除法，对十进制除以二取余，然后倒序排列得到二进制：

12%2 = 0·········· (1)

6%2 = 0············(2）

3%2 = 1············(3)

1%2 = 1············(4)

答案： 1100₍₂₎

1.3 补充

以上是正整数的十进制与二进制的转换，那么负整数呢？正分数和负分数呢？

1. 负整数

   首先我们要了解十六位的二进制能代表的范围：

   • 无符号是0000 0000 0000 0000到1111 1111 1111 1111，转换成十进制是0~65535

   • 有符号的时候第一位是符号位，0表示正数，1表示负数，其余为数值位。

     • 对于原码，最小值是1111 1111 1111 1111，最大值是0111 1111 1111 1111，转换成十进制是-32767~32767。

       最小值：1111 1111 1111 1111₍₂₎ =
       $$
       \frac{(1-2^{15})\cdot1}{1-2}
       $$
       =-32767 ₍₁₀₎

       最大值：0111 1111 1111 1111₍₂₎ =
       $$
       \frac{(1-2^{15})\cdot1}{1-2}
       $$
       =32767 ₍₁₀₎

     • 对于反码，只是数值位取反，符号位不变，所以数值不会变。

     • 而对于补码，由于0的补码是固定的唯一的就是0000 0000 0000 0000，所以1000 0000 0000 0000表示的并不是0，而是

       最小值-32768。为什么呢？因为在计算机中只有加法，而1000 0000 0000 0000实际上是溢出一位，应该是1 1000 0000 0000 0000，它的值为-2¹⁵ = -32768。所以他的取值范围是1000 0000 0000 0000到0111 1111 1111 1111，即-32768~32767。正数的补码、反码都是原码本身。

2. 小数

   1. 二进制转换成十进制

      小数部分依次乘以2的负几次方

      问题：0.001_（2）= ____₍₁₀₎

      0 * 2^-1+0 * 2^-2+1 * 2^-3 = 1/8 = 0.125

      答案： 0.125₍₁₀₎（保留5位小数）

   2. 十进制转换成二进制

      小数部分乘以2，取整数部分，直至乘积没有小数部分，然后按序排放。例如：

      问题：0.12_（10）= ____₍₂₎

      0.12 * 2 = 0.24··········0（1）

      0.24 * 2 = 0.48··········0（2）

      0.48 * 2 = 0.96··········0（3）

      0.96 * 2 = 1.92··········1（4）

      0.92 * 2 = 1.84··········1（5）

      ······

      答案： 0.00011₍₂₎（保留5位小数）

2 字节（byte）

​ 我们都知道 int 类型占用4个字节，lang类型占用8个字节，字节类型占用一个字节，那么一个字节在二进制要如何表示呢？

在计算机中一个字节由八位二进制表示，所以最大是1111 1111 （255）超过255的话要用两个字节。