考研复习到线性代数的特征值这一章，看到两个基本性质：特征值的积等于矩阵的行列式，特征值的和等于矩阵的迹。用公式表示：

\[\prod_{i=1}^n\lambda_i=|A|\\ \sum\lambda_i=tr(A) \]

书上没有证明过程，于是去搜了一下，加上自己的理解，将其整理在此。

由于两个的证明都要用到韦达定理，所以这里先证明一下韦达定理。

1.韦达定理

定理：

设复数系一元n次方程\(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0\)的根为\(x_1,x_2,...,x_n\)，则成立：

\[\begin{align*} x_1+x_2+...+x_n=&\sum_{i=1}^nx_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n} \\ x_1x_2...x_n=&\prod_{i=1}^n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n} \end{align*} \]

证明：

多项式提出\(a_n\)：

\[原式=a_n(x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}x^{n-1}+...+\frac{a_1}{a_n}x+\frac{a_0}{a_n}) \]

换用零点形式表示：

\[\begin{align*} 原式=&a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n) \\ =&a_n(x^n-(\sum_{i=1}^n x_i)x^{n-1}+...+(-1)^n\prod_{i=1}^nx_i) \end{align*} \]

将两式中的常数项对应起来：

\[\frac{a_0}{a_n}=(-1)^n\prod_{i=1}^nx_i \]

移项得：

\[\prod_{i=1}^nx_i=(-1)^n\frac{a_0}{a_n} \]

将两式中\(x^{n-1}\)的系数对应起来：

\[\frac{a_{n-1}}{a_n}=-\sum_{i=1}^n x_i \]

移项得：

\[\sum_{i=1}^nx_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n} \]

2.特征值的积等于行列式

定理：

\[\prod_{i=1}^n\lambda_i=|A| \]

其中\(\lambda_i\)是A的n个特征值

证明：

特征方程\(|A-\lambda I|=a_0+a_1\lambda+...+a_n\lambda^n\)

上述方程令\(\lambda=0\)，得

\[|A|=a_0 \]

由于\(\lambda_n\)的系数\(a_n\)一定由行列式主对角线元素相乘得到，所以有

\[a_n=(-1)^n \]

由韦达定理得：

\[\prod_{i=1}^n \lambda=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}=a_0 \]

所以

\[\prod_{i=1}^n \lambda=|A| \]

3.特征值的和等于矩阵的迹

定理：

\[\sum\lambda_i=tr(A) \]

证明：

观察特征多项式：

\[\begin{align*} |A-\lambda I|=& \left( %左括号 \begin{array}{ccc} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 a_{11}-\lambda & a_{12} &... &a_{1n}\\ %第一行元素 a_{21} & a_{22}-\lambda &... &a_{2n}\\ %第二行元素 ... &...\\ a_{n1} & a_{n2} &... &a_{nn}-\lambda \end{array} \right) %右括号 \\ =&a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0 \end{align*} \]

可知：

\[a_{n-1}=(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^na_{ii} \]

根据韦达定理，有：

\[\sum_{i=1}^n\lambda_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n} \]

带入\(a_{n-1}\)，有：

\[\begin{align*} \sum_{i=1}^n\lambda_i=&-\frac{a_{n-1}}{a_n} \\=&-\frac{(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^na_{ii}}{(-1)^n} \\=&\sum_{i=1}^na_{ii} \end{align*} \]