题目描述

在这里

给你四个整数：n 、a 、b 、c ，请你设计一个算法来找出第 n 个丑数。
丑数是可以被 a 或 b 或 c 整除的 正整数 。

示例 1：
输入：n = 3, a = 2, b = 3, c = 5
输出：4
解释：丑数序列为 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10… 其中第 3 个是 4。
示例 2：
输入：n = 4, a = 2, b = 3, c = 4
输出：6
解释：丑数序列为 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12… 其中第 4 个是 6。
示例 3：
输入：n = 5, a = 2, b = 11, c = 13
输出：10
解释：丑数序列为 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13… 其中第 5 个是 10。
示例 4：
输入：n = 1000000000, a = 2, b = 217983653, c = 336916467
输出：1999999984

提示：
1 <= n, a, b, c <= 10^9
1 <= a * b * c <= 10^18
本题结果在 [1, 2 * 10^9] 的范围内

方法：容斥原理+二分查找

算法思路：

容斥原理：

首先，设a和b的最小公倍数为gcd_ab，a和c的最小公倍数为gcd_ac，b和c的最小公倍数为gcd_bc，三者的最小公倍数为gcd_labc。那么在1到 x x x当中有多少个丑数？
即：
有 x x x// a个数可以被a整除
有 x x x// b个数可以被b整除
有 x x x// c个数可以被c整除
有 x x x//gcd_ab个数可以同时被a和b整除
有 x x x//gcd_ac个数可以同时被a和c整除
有 x x x//gcd_bc个数可以同时被b和c整除
有 x x x//gcd_abc个数可以同时被a、b、c整除
则：
1~ x x x的丑数数量为： x x x//a+ x x x//b+ x x x//c- x x x//gcd_ab- x x x//gcd_ac- x x x//gcd_bc+ x x x//gcd_abc
(理由是在计算可以被a整除和可以被b整除的数时，可以同时被a和b整除的数被计算了两次。类似的，可以同时被a和c整除以及可以同时被b和c整除的数也都计算了两次，因此需要减去重复计算的次数。但是，这其中有个特例就是gcd_abc，其被计算了三次，也被减去了三次，因此最后需要加上一个gcd_abc)

二分查找：

题目转化为在1- x x x范围中查找一个数为mid,即1~mid中含有丑数的数量等于n且前一个数的丑数小于n

主要步骤：

1. 求出ab,ac,bc,abc的最小公倍数
2. num(x)函数：求出1~x的丑数数量
3. 用二分进行查找看哪个数满足条件

具体代码：

"""
容斥原理+二分查找：
n,a,b,c:输入的数值
gcd_ab:a,b的最小公倍数
left:查找的上限
right:查找的下限
mid:中间数
"""
import math
n,a,b,c=map(int,input().split())
gcd_ab=(a*b)//math.gcd(a,b)      #步骤1
gcd_ac=(a*c)//math.gcd(a,c)
gcd_bc=(b*c)//math.gcd(b,c)
gcd_abc=(gcd_bc*a)//math.gcd(gcd_bc,a)
def num(x):       #步骤2
    return x//a+x//b+x//c-x//gcd_ab-x//gcd_ac-x//gcd_bc+x//gcd_abc
left=1
right=n*min(a,b,c)+1
mid=(left+right)//2
while left<right:     #步骤3
    mid = (left + right) // 2
    num_1=num(mid)
    if num_1<n:
        left=mid+1
    else:
        right=mid
print(right)