前言

$manacher$算法，这个被$OIer$戏称为马拉车的算法，作为字符串入门算法，非常值得$OIer$学习，并且学会其核心思想--不断利用之前以求的值来更新之后待求的值。掌握好它，我们就可以开启$OI$字符串算法的大门。

一、manacher算法的目的（解决神马问题）

$manacher$算法是用于求最长回文子串长度的算法。

什么回文串？顾名思义，回文串就是一个字符串顺序读和倒序读都一样。

举个栗子：$aba$ $aaaaaa$ $IOI$

二、manacher算法的基本思路

首先，我们来看到问题：给定一个字符串，求其最长回文子串长度。

$1$.我们来看一看最暴力的解法：枚举所有子串，再分别判断该串是否是回文串。时间复杂度$O(n^3)$。暴力不愧是暴力，这时间复杂度直接上天

$2$.既然暴力不行，那我们稍微优化一下。我们可以枚举每一个点作为对称点（就是该回文子串的对称中心），再暴力扫描求出最长回文子串长度。时间复杂度$O(n^2)$。

$3$.改进后还是有点慢，我们可不可以再快一点？这是，我们今天的主角--manacher算法就闪亮登场了。

我们可以沿着$2$的思路，枚举对称点，并令$p[i]$为该对称点所能延伸的最长回文半径（从对称点到该回文子串的左端点或右端点（包含端点和对称点））。

这时，我们遇到了第一个问题--如果是偶回文串，那我们该怎么办？

我们可以在所有字符之间插入一个无关字符,让偶串变成奇串。

举个栗子：aba->@#a#b#a#!  (前后两个端点插入不同符号防越界)
		  abba->@#a#b#b#a#! 
            
这样，我们就可以愉快的枚举对称点了。  

之后，我们可以得到一个显然才怪的结论--回文串长度==$p[i]-1$。

为了防止我们看的云里雾里，还是补充一个解释比较好：

以abba为例，处理后变成@#a#b#b#a#! 那么最中间的#号的$p[i]$值为$5$，$5-1=4$，从数值上看，它们是相等的。

那有没有什么证明呢？当然要有，不然怎么用这个算法。

新串相当于在原串的基础上$\times 2+1$，我们取它的回文半径就可以抵消掉$\times 2$的效果，再$-1$就可以得到真正的回文串长度。

说了这么多，提升效率的呢？

我们定义$mx$表示当前找到的最长回文子串的最右端点的下标，$id$表示$mx$的对称中心。用$i$表示当前要匹配的节点。

1.当$i<mx$时

利用回文串的性质，我们可以得到$i$关于$id$对称的点$j=(id<<1)-i$。

（1）当$p[j]<j$到$id$左端点的距离，如下图

显然，$p[i]=p[j]$，且$p[i]$不可以再向两边扩展。

（2）当$p[j]==j$到$id$左端点的距离，如下图

显然，$p[i]=p[j]$，且$p[i]$可以再向两边扩展。

（3）当$p[j]>j$到$id$左端点的距离，如下图

此时$p[i]=mx-i$，且$p[i]$不可以再向两边扩展。

因为如果可以扩展，则$cd$，又因为$ab$且$bc$，所以$ad$，那么$mx$就可以再拓展一位，产生矛盾，舍去。

2.当$i>mx$时

直接$p[i]=1$，之后再判断是否可以拓展。（因为之前推出的$p[i]$值无法更新当前要求的值）

好了，直接上核心代码

	for(R int i=1;i<len;++i) {//len是新数组长度
		if(i<mx) p[i]=min(p[(id<<1)-i],mx-i);//同1
		else p[i]=1;//同2
		while(str[i+p[i]]==str[i-p[i]]) ++p[i];//判断是否可以再向两边拓展
		if(p[i]+i>mx) {mx=i+p[i];id=i;}//更新
		ans=max(ans,p[i]-1);//更新答案
	}

参考资料：

Chrety大佬的blog

老规矩，练手题

1.板子(题解)(我的代码)

2.求前$k$长的所有回文子串长度的乘积(题解)(我的代码)

3.最长双回文串(题解)(我的代码)