目录

• 0、前言&引子
  • 0.1、本文要求的预备知识
  • 0.2、牛顿-莱布尼茨公式
  • 0.3、格林公式
  • 0.4、高斯公式
  • 0.5、斯托克斯公式
  • 0.6、广义斯托克斯公式（牛顿莱布尼茨公式的推广）
• 1、记号说明
  • 1.1、求边界记号∂Ω的含义
  • 1.2、流形
  • 1.3、楔形积(dx∧dy)=-(dy∧dx)
  • 1.4、外微分记号dω的含义
• 2、用「广义斯托克斯公式」推导「牛顿-莱布尼茨公式」、「格林公式」、「高斯公式」、「斯托克斯公式」
  • 2.1、牛顿-莱布尼茨公式
  • 2.2、格林公式&斯托克斯公式
  • 2.3、高斯公式
• 3、总结

0、前言&引子

0.1、本文要求的预备知识

本文要求读者已修习书目《高等数学（下）》，了解「梯度」、「散度」、「旋度」的定义，了解全微分公式，熟悉「第一/二类曲线/面积分」，了解「牛顿-莱布尼茨公式」、「格林公式」、「高斯公式」、「斯托克斯公式」。

本文旨在于让读者理解到「牛顿-莱布尼茨公式」、「格林公式」、「高斯公式」、「斯托克斯公式」可以被统一为「广义斯托克斯公式」。

0.2、牛顿-莱布尼茨公式

我们在高数中讲过牛顿-莱布尼茨公式

\[\int_{a}^b{f^\prime\left( x \right) \mathrm{d}x}=f\left( b \right) -f\left( a \right) \tag{0.1} \]

或者记为

\[\int_{\left[ a,b \right]}{ \mathrm{d}f}=f\left( b \right) -f\left( a \right) \tag{0.2} \]

0.3、格林公式

在讲二重积分时，引入了格林公式

\[\iint_D{\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{l}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y} \tag{0.3} \]

其中曲线 \(l\) 是平面区域 \(D\) 的边界曲线，我们用符号 \(l=\partial D\) 来表示 \(D\) 的边界曲线，并用行列式化简表达式

\[\iint_D{\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix} \right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{\partial D}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y} \tag{0.4} \]

表达式右端可以看作向量的内积 \(\left\{P,Q\right\}\cdot \left\{\mathrm{d}x,\mathrm{d}y\right\}\) ，因此，令 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q \right\} ,\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\left\{ \mathrm{d}x,\mathrm{d}y \right\}\) ，格林公式可以进一步写为

\[\iint_D{\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix} \right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}} \tag{0.5} \]

还记得高数讲得旋度公式 \(\nabla \times \boldsymbol{F}=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{\hat{x}}& \boldsymbol{\hat{y}}& \boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P& Q& R\\\end{matrix} \right|\) 吗？是不是感觉和这里很像？因为这里的 \(\boldsymbol{F}\) 没有 \(z\) 分量，所以这里有 \(\nabla \times \boldsymbol{F}=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{\hat{x}}& \boldsymbol{\hat{y}}& \boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& 0\\ P& Q& 0\\\end{matrix} \right| = \boldsymbol{\hat{z}}\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix} \right|\) 。如果我们再令 \(\mathrm{d}\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\hat{z}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \left\{0,0,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right\}\) ，左端就等价于 \(\left(\nabla \times \boldsymbol{F}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\) 了。因此，我们最终将格林公式改写为了

\[\iint_D{\left(\nabla \times \boldsymbol{F}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}} =\oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}} \tag{0.6} \]

0.4、高斯公式

在讲三重积分时，我们引入了高斯公式

\[\iiint_{\Omega}{\left( \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d}V}=\oiint_{\partial \Omega}{\left( P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma \right) \mathrm{d}S} \tag{0.7} \]

其中曲线 \(\partial \Omega\) 是实心空间立体区域 \(\Omega\) 的边界曲面（例如球体的边界曲面就是球面）。

并且，与格林公式类似地，我们令 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\} ,\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\mathrm{d}S\left\{ \cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma \right\}\) ，并引入散度算子 \(\nabla=\left\{ \frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z} \right\}\) ，此时 \(\nabla \cdot \boldsymbol{F}= \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\) 。我们可以把高斯公式改写为

\[\iiint_{\Omega}{\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \mathrm{d}V}=\oiint_{\partial \Omega}{\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}} \tag{0.8} \]

0.5、斯托克斯公式

通过格林公式和高斯公式的练习，是不是有些找到感觉了？让我们来看看最后一个公式——斯托克斯公式。事实上，我们可以认为斯托克斯公式是格林公式向三维的自然推广。

高数讲的斯托克斯公式是

\[\iint_S{\left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathrm{d}y\mathrm{d}z+\left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathrm{d}z\mathrm{d}x+\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{\partial S}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z} \tag{0.9} \]

令 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\} ,\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\left\{ \mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z \right\}\) ，借助高数讲得旋度公式 \(\nabla \times \boldsymbol{F}=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{\hat{x}}& \boldsymbol{\hat{y}}& \boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P& Q& R\\\end{matrix} \right|\) ，再令 \(\mathrm{d}\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\hat{x}}\mathrm{d}y\mathrm{d}z +\boldsymbol{\hat{y}}\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\boldsymbol{\hat{z}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y= \left\{\mathrm{d}y\mathrm{d}z,\mathrm{d}z\mathrm{d}x,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right\}\) ，斯托克斯公式就能化为和格林公式一样的形式了。

\[\iint_D{\left(\nabla \times \boldsymbol{F}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}} =\oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}} \tag{0.10} \]

0.6、广义斯托克斯公式（牛顿莱布尼茨公式的推广）

在这里，我不加证明也不加说明地给出「广义斯托克斯公式」，这一公式将上面的所有公式统一了起来。至于这一公式的含义，则需要阅读完本文全文后才能理解，本文将会讲解本公式中涉及的所有符号。

\[\int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega} \tag{0.11} \]

相信第一次看到这个公式的同学们是懵逼的，因为一堆符号看起来认识，但和我们认知中的并不一样。比如：里面的 \(\partial \Omega\) 是什么意思？为什么右面的积分符号 \(\int\) 没有配套 \(\mathrm{d}x\) ？左面的 \(\mathrm{d}\omega\) 是什么含义？让我们带着这些疑问来看本文的内容吧。

1、记号说明

注：如果嫌太长不想看的话，每一段前面都几句话总结环节。

浓缩的都是精华，短的公式不一定好理解，因为每一个符号背后的含义可能都十分复杂。不要看 \(\int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega}\) 这个公式很短，但在这一个短短的公式中，却蕴含了十分多的数学知识。接下来，让我们以这个公式为主线，来探索这些符号的含义，以及学习这些数学知识。

1.1、求边界记号∂Ω的含义

几句话总结：假设 \(\Omega\) 代表一个区域，那么 \(\partial \Omega\) 代表区域的边界。比如平面上的实心圆、三维空间的半球面，边界就是一个圆。球体的边界就是一个球面。

首先引入一个求边界记号 \(\partial\) ，假设 \(\Omega\) 代表一个区域，那么 \(\partial \Omega\) 代表区域的边界。

下面举几个直观的例子——

• 如果 \(l\) 代表一条直线（如一个区间）， \(\partial l\) 就代表它的两端点（如该区间端点）。
• 如果 \(D\) 代表一个平面（如一个实心圆）， \(\partial D\) 就代表它的边界曲线（如该圆边界）。
• 如果 \(V\) 代表空间中的一个体（如一个实心球体）， \(\partial V\) 就代表它的边界曲面（如该球表面）。

再举一个具体的例子，假设 \(V=\left\{ \left( x,y,z \right) |x^2+y^2+z^2\leqslant 1 \right\}\) 是 \(3\) 维的单位球，那么 \(\partial V\) 就是它的边界，即 \(2\) 自由度的球面 \(\partial V=\left\{ \left( x,y,z \right) |x^2+y^2+z^2=1 \right\}\) （所谓自由度，就是自由移动的程度。比如球面只能向着 \(2\) 个方向自由移动，无法向着半径方向自由移动，所以球面的自由度为 \(2\) ）。

1.2、流形

几句话总结：无论处于几维空间，曲线被称为 \(1\) 维流形，曲面被称为 \(2\) 维流形，三维体被称为 \(3\) 维流形，这于所处空间的维度无关。例如 \(3\) 维空间中的圆是曲线，所以是 \(1\) 维流形。 \(3\) 维空间中的球面是曲面，所以是 \(2\) 维流形。

我们知道 \(V=\left\{ \left( x,y,z \right) |x^2+y^2+z^2\leqslant 1 \right\}\) 是 \(3\) 维的单位球，所以它的维度是 \(3\) 。那么问题来了，它的边界球面 \(\partial V=\left\{ \left( x,y,z \right) |x^2+y^2+z^2=1 \right\}\) 的“维度”是多少呢？

我们通过直觉会感觉到，球面比起球少了一个自由度。也就是说，球面无法在半径方向自由移动，所以球面的“维度”理应是 \(2\) ，即使它确实处在 \(3\) 维空间中，但想象一个住在球面上的居民，它只能往两个方向自由移动，所以它理应是 \(2\) 维的，只是被嵌入了 \(3\) 维空间。

同理，一条三维空间中的曲线，它真正的自由度只有 \(1\) ，因为想象一个住在曲线上的居民，它只能往一个方向自由移动，所以它理应是 \(1\) 维的，只是被嵌入了 \(3\) 维空间。

为了准确地描述这一现象，并且将曲线、曲面、体统一起来，我们将它们命名为“流形”。其中

• 只要是曲线，无论处于几维空间，都将其称为 \(1\) 维流形。
• 只要是曲面，无论处于几维空间，都将其称为 \(2\) 维流形。
• 只要是三维体，无论处于几维空间，都将其称为 \(3\) 维流形。
• 只要是 \(n\) 维体，无论处于几维空间，都将其称为 \(n\) 维流形。

例如超平面 \(S_{n-1}=\left\{ \left( x_1,x_2,\cdots ,x_n \right) |x_1+x_2+\cdots +x_n = 1 \right\}\) 就是一个 \(n-1\) 维的流形。

1.3、楔形积(dx∧dy)=-(dy∧dx)

几句话总结：对于第二类曲面积分而言，曲面微元是具有方向的，而方向则是由右手法则确定的。 \(\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y\) 是从 \(x\) 指向 \(y\) ， \(\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x\) 是从 \(y\) 指向 \(x\) ，自然相差一个负号。于是楔形积满足反交换律 \(\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y = -\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x\) 。

我们约定 \(\boldsymbol{\hat{x}}\) 代表与 \(\boldsymbol{x}\) 向量同向的单位方向向量。

在高数中，我们知道曲面是有正面和反面的说法的。比如第二类曲面积分， \(\boldsymbol{F}\) 和 \(\mathrm{d}\boldsymbol{S}\) 方向一致的话，那么积分为正，方向相反则积分为负。那么这个 \(\mathrm{d}\boldsymbol{S}\) 的方向究竟是什么呢？

我们可以通过下图清楚地看出——法向量 \(\boldsymbol{\hat{n}}\) 的方向由 \(\mathrm{d}x\) 和 \(\mathrm{d}y\) 的右手法则确定。伸出右手，四指从 \(\mathrm{d}x\) 向 \(\mathrm{d}y\) 绕，此时大拇指的指向就是法向量 \(\boldsymbol{\hat{n}}\) 的方向。我们将其记为 \(\boldsymbol{\hat{n}} \left( \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \right)\) ，它代表方向与 \(\boldsymbol{\hat{n}}\) 同向，大小为 \(\mathrm{d}x \cdot \mathrm{d}y\) 的面积微元。

那么，由图不难看出， \(\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x\) 的方向与法向量 \(\boldsymbol{\hat{n}}\) 的反方向，所以应当有下表达式成立：

\[\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y = -\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x \tag{1.1} \]

在三维空间中——

• \(\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\left\{ \mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z \right\}\) 代表与曲线方向向量同向的矢量线微元。
• \(\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\left\{ \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z,\mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x,\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \right\}\) 代表与曲面法向量同向的矢量面微元。
• 因为空间只有 \(3\) 维，因此 \(\mathrm{d}V=\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z\) 代表标量体积微元。

当然，这一公式可以推广到高维，我们称之为“反交换律”，即交换两个元素后，等式添加一个负号。

1.4、外微分记号dω的含义

几句话总结：如果 \(\omega\) 是一个三元函数 \(\omega=f\left(x,y,z\right)\) ，那么 \(\omega\) 被称为「第零次外微分形式」，其微分满足：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla f \right) \cdot \left( \mathrm{d}\boldsymbol{l} \right) \tag{1.2} \]

如果设 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\}\) ， \(\omega\) 是一个一维的微元 \(\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z\) ，那么 \(\omega\) 被称为「第一次外微分形式」，其微分满足：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla \times \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} \boldsymbol{S} \right) \tag{1.3} \]

如果设 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\}\) ， \(\omega\) 是一个二维的微元 $$\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = P \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+Q \mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+R \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y$$ ，那么 \(\omega\) 被称为「第二次外微分形式」，其微分满足：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} V \right) \tag{1.4} \]

我们可以这么总结： \(\omega\) 是几次外微分形式，关键看 \(\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}?\) ， \(?\) 是几维，外微分就是几次形式。零次形式 \(\omega\) 的外微分是梯度乘以弧长微元 \(\mathrm{d}\omega =\left( \nabla f \right) \cdot \left( \mathrm{d}\boldsymbol{l} \right)\) ，一次形式 \(\omega\) 的外微分是旋度乘以面积微元 \(\left( \nabla \times \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} \boldsymbol{S} \right)\) ，二次形式 \(\omega\) 的外微分是散度乘以体积微元 \(\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} V \right)\) 。

\(\mathrm{d}\omega\) 这个玩意被我们称为外微分。

我们假设 \(\omega\) 是一个三元函数 \(\omega=f\left(x,y,z\right)\) ，因为这里还没开始进行外微分运算，我们称 \(\omega\) 为「第零次外微分形式」。那么根据全微分法则，「『第零次外微分形式』的微分」为

\[\mathrm{d}\omega =\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z \]

我们求出了 \(\mathrm{d}\omega\) 。

进一步地，我们知道 \(f\) 的梯度为 \(\nabla f=\left\{ \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z} \right\}\) ，并记弧长方向向量微元 \(\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\left\{ \mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z \right\}\) ，得到「『第零次外微分形式』的微分」：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla f \right) \cdot \left( \mathrm{d}\boldsymbol{l} \right) \tag{1.2} \]

那么，我们自然会想：设 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\}\) ， \(\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z\) 能不能继续微分下去，也就是求出 \(\mathrm{d}\omega\) 。因为这里的形式与「『第零次外微分形式』的微分」很像，我们称 \(\omega\) 为「第一次外微分形式」。

我们对其进行一次微分，得到

\[\mathrm{d}\omega =\mathrm{d}P\wedge \mathrm{d}x+\mathrm{d}Q\wedge \mathrm{d}y+\mathrm{d}R\wedge \mathrm{d}z \]

这个公式我就不予证明了。结合全微分公式

\[\begin{cases} \mathrm{d}P=\frac{\partial P}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial P}{\partial z}\mathrm{d}z\\ \mathrm{d}Q=\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial Q}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial Q}{\partial z}\mathrm{d}z\\ \mathrm{d}R=\frac{\partial R}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial R}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}z\\ \end{cases} \]

以及 \(\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}x=\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}y=\mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}z=0\) ，和反交换律 \(\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y=-\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x\) ，得到「『第一次外微分形式』的微分」：

\[\begin{aligned} \mathrm{d}\omega &=\mathrm{d}P\land \mathrm{d}x+\mathrm{d}Q\land \mathrm{d}y+\mathrm{d}R\land \mathrm{d}z\\ &=\left( \frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial P}{\partial z}\mathrm{d}z \right) \land \mathrm{d}x+\left( \frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial Q}{\partial z} \right) \land \mathrm{d}y+\left( \frac{\partial R}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial R}{\partial y}\mathrm{d}y \right) \land \mathrm{d}z\\ &=\left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+\left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y\\ \end{aligned} \]

设 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\}\) ，注意到旋度公式

\[\begin{aligned} \nabla \times \boldsymbol{F}&=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{\hat{x}}& \boldsymbol{\hat{y}}& \boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P& Q& R\\ \end{matrix} \right|\\ &=\boldsymbol{\hat{x}}\left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right) +\boldsymbol{\hat{y}}\left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right) +\boldsymbol{\hat{z}}\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)\\ &=\left\{ \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right\}\\ \end{aligned} \]

再令 \(\mathrm{d} \boldsymbol{S} = \left\{ \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z,\mathrm{d}z\land \mathrm{d}x,\mathrm{d}x\land \mathrm{d}y \right\}\) ，就求出了「『第一次外微分形式』的微分」：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla \times \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} \boldsymbol{S} \right) \tag{1.3} \]

进一步地，我们还能求「第二次外微分形式」。令 \(\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = P \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+Q \mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+R \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y\) ，称之为「第二次外微分形式」，得

\[\mathrm{d}\omega =\mathrm{d}P\land \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+\mathrm{d}Q\land \mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+\mathrm{d}R\land \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y \]

与上面的推导类似地，结合全微分公式

\[\begin{cases} \mathrm{d}P=\frac{\partial P}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial P}{\partial z}\mathrm{d}z\\ \mathrm{d}Q=\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial Q}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial Q}{\partial z}\mathrm{d}z\\ \mathrm{d}R=\frac{\partial R}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial R}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}z\\ \end{cases} \]

以及 \(\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}x=\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}y=\mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}z=0\) ，和反交换律 \(\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y=-\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x\) ，得到「『第二次外微分形式』的微分」：

\[\begin{aligned} \mathrm{d}\omega &=\mathrm{d}P\land \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+\mathrm{d}Q\land \mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+\mathrm{d}R\land \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y\\ &=\frac{\partial P}{\partial x}\mathrm{d}x\land \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+\frac{\partial Q}{\partial y}\mathrm{d}y\land \mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}z\land \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y\\ &=\left( \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z\\ \end{aligned} \]

设 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\}\) ，注意到散度公式 \(\nabla \cdot \boldsymbol{F} = \left( \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \right)\) ，再令 \(\mathrm{d} V = \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y \land \mathrm{d}z\) ，就求出了「『第二次外微分形式』的微分」：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} V \right) \tag{1.4} \]

2、用「广义斯托克斯公式」推导「牛顿-莱布尼茨公式」、「格林公式」、「高斯公式」、「斯托克斯公式」

广义斯托克斯公式是——

\[\int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega} \tag{0.11} \]

2.1、牛顿-莱布尼茨公式

一维的牛顿-莱布尼茨公式是——

\[\int_{\left[ a,b \right]}{ \mathrm{d}f}=f\left( b \right) -f\left( a \right) \tag{0.2} \]

或者考虑二、三维情形，写成

\[\int_{L}{ \left(\nabla f\right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}}=f\left( \boldsymbol{x}_2 \right) -f\left( \boldsymbol{x}_1 \right)\tag{2.1} \]

令区域 \(\Omega=\left[ a,b \right]\) ，则边界点 \(\partial \Omega=a,b\) ，函数 \(\omega = f\) 为零次外微分形式。

则 \(\int_{\partial \Omega}{\omega} = f\left( b \right) -f\left( a \right)\) ，自然有一维的牛顿-莱布尼茨公式——

\[\int_{\left[ a,b \right]}{ \mathrm{d}f} = \int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega}=f\left( b \right) -f\left( a \right) \tag{2.2} \]

或者令考虑二、三维情形，令区域 \(\Omega=L\) ，则边界点 \(\partial \Omega=\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2\) ，函数 \(\omega = f\) 为零次外微分形式。

则 \(\int_{\partial \Omega}{\omega} = f\left( \boldsymbol{x}_2 \right) -f\left( \boldsymbol{x}_1 \right)\) ， \(\mathrm{d}\omega=\left(\nabla f\right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}\) ，自然有二、三维的牛顿-莱布尼茨公式——

\[\int_{L}{ \left(\nabla f\right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}}= \int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega}=f\left( \boldsymbol{x}_2 \right) -f\left( \boldsymbol{x}_1 \right)\tag{2.3} \]

2.2、格林公式&斯托克斯公式

格林公式和斯托克斯公式都是——

\[\iint_D{\left(\nabla \times \boldsymbol{F}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}} =\oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}} \tag{0.6} \]

唯一的区别就是：格林公式是二维情形，斯托克斯公式是三维情形。这一点类似于一维的牛顿-莱布尼茨公式与二、三维的牛顿-莱布尼茨公式。

令区域 \(\Omega=D\) ，则 \(\partial \Omega\) 是边界曲线，函数 \(\omega = \boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\) 为一次外微分形式。

则 \(\int_{\partial \Omega}{\omega} = \oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}}\) ， \(\mathrm{d}\omega=\left(\nabla \times \boldsymbol{F}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\) ，自然有格林公式和斯托克斯公式——

\[\iint_D{\left(\nabla \times \boldsymbol{F}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}} = \int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega}=\oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}}\tag{2.4} \]

2.3、高斯公式

高斯公式是——

\[\iiint_{\Omega}{\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \mathrm{d}V}=\oiint_{\partial \Omega}{\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}} \tag{0.8} \]

令区域为 \(\Omega\) ，则 \(\partial \Omega\) 是边界曲线，函数 \(\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\) 为二次外微分形式。

则 \(\int_{\partial \Omega}{\omega} = \oiint_{\partial \Omega}{\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}}\) ， \(\mathrm{d}\omega=\mathrm{d}\omega =\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} V \right)\) ，自然有高斯公式——

\[\iiint_{\Omega}{\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \mathrm{d}V}= \int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega}=\oiint_{\partial \Omega}{\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}}\tag{2.5} \]

3、总结

我们利用了广义斯托克斯公式——

\[\int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega} \tag{0.11} \]

通过将不同次数外微分形式的 \(\omega\) 代入，并选择与之维度匹配的区域 \(\Omega\) ，就得到了对应的公式。其中——

将 \(0\) 次外微分形式 \(\omega = f\) ，区域 \(\Omega=L\) 代入，得到一、二、三维的「牛顿-莱布尼茨公式」

\[\int_{L}{ \left(\nabla f\right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}}= \int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega}=f\left( \boldsymbol{x}_2 \right) -f\left( \boldsymbol{x}_1 \right)\tag{2.3} \]

将 \(1\) 次外微分形式 \(\omega = \boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\) ，区域 \(\Omega=D\) 代入，得到二维的「格林公式」和三维的「斯托克斯公式」

\[\iint_D{\left(\nabla \times \boldsymbol{F}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}} = \int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega}=\oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}}\tag{2.4} \]

将 \(2\) 次外微分形式 \(\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\) ，区域 \(\Omega\) 代入，得到「牛顿-莱布尼茨公式」

\[\iiint_{\Omega}{\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \mathrm{d}V}= \int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega}=\oiint_{\partial \Omega}{\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}}\tag{2.5} \]

其中利用了结论——

如果 \(\omega\) 是一个三元函数 \(\omega=f\left(x,y,z\right)\) ，那么 \(\omega\) 被称为「第零次外微分形式」，其微分满足：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla f \right) \cdot \left( \mathrm{d}\boldsymbol{l} \right) \tag{1.2} \]

如果设 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\}\) ， \(\omega\) 是一个一维的微元 \(\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z\) ，那么 \(\omega\) 被称为「第一次外微分形式」，其微分满足：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla \times \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} \boldsymbol{S} \right) \tag{1.3} \]

如果设 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\}\) ， \(\omega\) 是一个二维的微元 $$\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = P \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+Q \mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+R \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y$$ ，那么 \(\omega\) 被称为「第二次外微分形式」，其微分满足：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} V \right) \tag{1.4} \]

不难发现，这种方法可以推广到 \(n\) 维。