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机器学习数学复习 - 1.概率论基础

本文主要是介绍机器学习数学复习 - 1.概率论基础,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!
# 概率相关 ## 从骰子实验引出的各种概率概念 1.投骰子,出现点数为 6 的概率 $\frac{1}{6}$. 投骰子,**已知出现点数为偶数**,出现点数为 6 的概率则是 $\frac{1}{3}$,这个概率即 **条件概率**。 2.**条件概率**为:假设我们知道 A 事件已经发生,在此基础上我们想知道 B 事件发生的概率,这个概率为条件概率,记作 $P(B|A)$ 3.**古典概率模型**:假设一个实验,有 **$\Omega$ 个等可能性的结果**,事件 A 包含其中 $X$ 个结果,事件 B 包含其中 $Y$ 个结果,$Z$ 代表其中交叉的事件: ![image](https://zhxhash-blog.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%9B%B8%E5%85%B3/1.%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E7%8E%87.png) 事件 A 发生的概率:$P(A) = \frac{X}{\Omega}$;事件 B 发生的概率:$P(B) = \frac{Y}{\Omega}$;事件 A、B 都发生的概率:$P(AB) = \frac{Z}{\Omega}$如果事件 A 已经发生,那么事件 B 也发生的概率是 $P(B|A) = \frac{Z}{X}$,将公式展开: 这个公式就是条件概率公式 $$ P(B|A) = \frac{\frac{Z}{\Omega}}{\frac{X}{\Omega}}= \frac{P(AB)}{P(A)} $$ 4.如果条件概率 $P(B|A)$ 大于 $P(B)$,代表事件 A 的发生会促进事件 B 的发生,例如上面投骰子的例子。还有可以看下图,本身 $P(B)$ 的概率是比较小的,在事件 A 已发生的情况下,由于相交部分较多,事件 B 发生的概率也提升了: ![image](https://zhxhash-blog.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%9B%B8%E5%85%B3/2.%E4%BF%83%E8%BF%9B%E5%8F%91%E7%94%9F.png) 5.如果条件概率 $P(B|A)$ 小于 $P(B)$,代表事件 A 不会促进事件 B 的发生,例如事件 A 为投骰子点数为偶数,事件 B 为投骰子点数小于 < 4,事件 A 和 事件 B 发生的概率都为 $1/2$,事件 A、B 同时发生的概率是 $1/6$,条件概率 $P(B|A)$ 为 $1/3$。还有可以看下图,本身 $P(B)$ 的概率是比较大的,在事件 A 已发生的情况下,由于相交部分较少,事件 B 发生的概率被降低了: ![image](https://zhxhash-blog.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%9B%B8%E5%85%B3/3.%E4%B8%8D%E4%BF%83%E8%BF%9B%E5%8F%91%E7%94%9F.png) 6.如果条件概率 $P(B|A)$ 等于 0,代表事件 A 与事件 B 完全不相交,即事件 A 发生则事件 B 一定不会发生,事件 A 与事件 B 是**不相容事件**,或者是**互斥事件**。如下图所示: ![image](https://zhxhash-blog.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%9B%B8%E5%85%B3/4.%E4%B8%8D%E7%9B%B8%E5%AE%B9%E4%BA%8B%E4%BB%B6.png) 7.还有可能条件概率 $P(B|A)$ 等于 $P(B)$,在这种情况下其实就是事件 A、B 的发生互不相关,例如有两个骰子,事件 A 为骰子 1 投出点数 6,事件 B 为骰子 2 投出点数 2,事件 A 和 事件 B 发生的概率都为 $1/6$,那么事件 A、B 同时发生的概率是 $\frac{1}{36}$,条件概率 $P(B|A)$ 等于 $\frac{1}{6}$,我们一般称这种为独立事件。如下图所示: ![image](https://zhxhash-blog.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%9B%B8%E5%85%B3/5.%E7%8B%AC%E7%AB%8B%E4%BA%8B%E4%BB%B6.png) ## 全概率公式与骰子实验验证 假设有 $A_1,A_2,...,A_n$ 这些互斥事件,包含了实验所有可能的结果: ![image](https://zhxhash-blog.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%9B%B8%E5%85%B3/6.%20%E5%85%A8%E6%A6%82%E7%8E%87.png) 即有$P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_n) = 1$。拿刚刚的骰子举例,其实就是抛一次骰子,点数分别为 1,2,3,4,5,6. 假设再有一个事件 B,用古典概率表示如图: ![image](https://zhxhash-blog.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%9B%B8%E5%85%B3/7.%20%E5%85%A8%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%85%AC%E5%BC%8F.png) 事件 B 的概率,可以通过事件 B 在 $A_1,A_2,...,A_n$ 这些互斥事件上的条件概率以及这些事件的概率进行计算,即全概率公式: $$ 条件:P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_n) = 1 $$ $$ 结果:P(B) = P(B\Omega) = P(BA_1) + P(BA_2) + ... + P(BA_n) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + ... + P(A_n)P(B|A_n) $$ 例如事件 B 就是投出的骰子为偶数,$P(B) = \frac{1}{2}$,$P(A_{点数=1})P(B|A_{点数=1}) + P(A_{点数=2})P(B|A_{点数=2}) + P(A_{点数=3})P(B|A_{点数=3}) + P(A_{点数=4})P(B|A_{点数=4}) + P(A_{点数=5})P(B|A_{点数=5}) + P(A_{点数=6})P(B|A_{点数=6}) = \frac{1}{6} * 0 + \frac{1}{6} * 1 + \frac{1}{6} * 0 + \frac{1}{6} * 1 + \frac{1}{6} * 0 + \frac{1}{6} * 1 = \frac{1}{2}$ ## 全概率公式的使用:足球预测 全概率公式的意义在于:在大多数情况下,我们是**很难像骰子实验一样直接得出事件 B 的概率**的,我们需要限定事件的样本空间,根据现有样本抽象出事件 $A_1,A_2,...,A_n$,同时统计这些事件上 B 发生的概率,最后得出事件 B 的概率。 举个例子即推测本次欧洲杯英国队对阵德国队,英国队胜利的概率,我们可以通过历史比赛数据(例如近几届欧洲杯比赛数据,以及两队对阵比赛数据)估算出英国队进球数为 0,1,2,3,4,5... 的概率,德国队进球数为 0,1,2,3,4,5... 的概率,其中**英国队进球数大于德国队即英国队胜利的概率**。这就是全概率公式的一种应用。 ## 由因推果与由果推因 全概率公式就是**由因推果**,一个典型的例子就是上面提到本次欧洲杯英国队对阵德国队,英国队胜利的概率的推测。我们根据以往比赛数据,可以算出英国队还有德国队的平均进球,进球概率一般符合**泊松分布**(这个我们之后还会提到,还会用这个例子详细分析),根据**泊松分布**,我们可以可以得出英国队还有德国队进球数 n 的概率,假设英国队平均进球为 1.67,德国队平均进球为 1.52 则(我们这里只考虑到进球数为 4 的情况): 球队 | 进球数为 0 | 进球数为 1 | 进球数为 2 | 进球数为 3 | 进球数为4 | ---|---|---|---|---|---| 英国队 | 0.1882 | 0.3144 | 0.2625 | 0.1461 | 0.061 | 德国队 | 0.2187 | 0.3324 | 0.2527 | 0.128 | 0.0486 | 假设 $P(A_0)$ 为英国队进球数为 0 的概率并以此类推: $$ P(A_0) = 0.1882 $$ $$ P(A_1) = 0.3144 $$ $$ P(A_2) = 0.2625 $$ $$ P(A_3) = 0.1461 $$ $$ P(A_4) = 0.061 $$ 假设 $P(B)$ 为英国队胜利的概率,则根据全概率公式有: $$ P(B) = P(A_0)P(B|A_0) + P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) + P(A_4)P(B|A_4) $$ $$ P(B|A_0) = 0 $$ $$ P(B|A_1) = 德国队进球为 0 的概率 = 0.2187 $$ $$ P(B|A_2) = 德国队进球为 0,1 的概率 = 0.2187 + 0.3324 = 0.5511 $$ $$ P(B|A_3) = 德国队进球为 0,1,2 的概率 = 0.2187 + 0.3324 + 0.2527 = 0.8038 $$ $$ P(B|A_4) = 德国队进球为 0,1,2,3 的概率 = 0.2187 + 0.3324 + 0.2527 + 0.128 = 0.9318 $$ $$ P(B) = 0.1882 * 0  +  0.3144 * 0.2187 + 0.2625 * 0.5511 + 0.1461 * 0.8038 + 0.061 * 0.9318 = 0.3877 $$ 但是,现实问题中,我们经常还会遇到由果推因的问题,例如我们体检,检测出来了胆囊息肉,那它究竟是否是肿瘤形成的还是胆固醇形成的或者是其他原因呢?这就需要我们从这个结果推测形成的原因。这就引出了**贝叶斯公式** ## 从足球预测例子理解先验概率与后验概率 在提到贝叶斯公式之前,我们先搞清楚两个概念,**先验概率**与**后验概率**。 **先验概率**一般是通过经验得出,即根据历史采集到的数据,没有做任何限制,得出的经验概率。上面的例子提到的通过历史比赛数据推测出来的两队进球数的概率,就是**先验概率**。这时候假设比赛开始,然后发生了一个事件,德国队后卫失误被英国队凯恩先进了一球,这时候我们需要在这个前提下重新计算两队进球数的概率,这个就是**后验概率**。 **先验概率**即完全根据历史数据推测出的经验概率,没有任何已发生前提情况下的概率。**后验概率**即观察到某个现象需要对**先验概率**进行修正的概率。可以这样简单理解,比赛开始前,估计的概率一般就是先验概率,比赛开始后,发生红黄牌,点球,进球,换人等等这些事件后,对概率进行修正后得出的就是后验概率。 ## 贝叶斯公式与胆囊息肉形成原因推测 假设有事件 A、B,则: $$ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $$ 这就是贝叶斯公式,我们再结合起来全概率公式,假设我们事件 $A_1, A_2, ..., A_n$ 这些互斥事件构成了样本空间的全集,则有: $$ P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)} = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + ... + P(B|A_n)P(A_n)} $$ 我们来用胆囊息肉形成原因推测举个例子,假设我们统计到在某个医院一百万个病人样本中,患有肿瘤的有 8%,其中的 20% 曾经发现胆囊息肉,具有高胆固醇症状的人有 80%,其中 40% 曾经发现胆囊息肉,剩下其他的 12% 中 30% 曾经发现胆囊息肉。假设 $A_1$ 为患有肿瘤,$A_2$ 为胆固醇,$A_3$ 为其他。$B$ 为胆囊息肉。则胆囊息肉为肿瘤的概率为: $$ P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + P(B|A_3)P(A_3)} = \frac{0.2 * 0.08}{0.2 * 0.08 + 0.4 * 0.8 + 0.3 * 0.12} = 0.043 $$
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