(1)基本概念
a)堆:设有n个元素的序列:
{k1, k2, ..., kn}
对所有的i=1,2,...,(int)(n/2),当满足下面关系:
ki≤k2i,ki≤k2i+1
或 ki≥k2i,ki≥k2i+1
这样的序列称为堆。
堆的两种类型:
根结点最小的堆----小根堆。
根结点最大的堆----大根堆。
根结点称为堆顶,即:在一棵完全二叉树中,所有非叶结点的值均小于(或均大于)左、右孩子的值。
b)堆排序:是一种树型选择排序,特点是,在排序过程中,把R[1..n]看成是一个完全二叉树的存储结构,利用完全二叉树双亲结点和孩子结点的内在关系,在当前无序区中选择关键字最大(最小)的记录。
2)堆排序步骤:
1、从k-1层的最右非叶结点开始,使关键字值大(或小)的记录逐步向二叉树的上层移动,最大(或小)关键字记录成为树的根结点,使其成为堆。
2、逐步输出根结点,令r[1]=r[i](i=n,,n-1,...,2),在将剩余结点调整成堆。直到输出所有结点。我们称这个自堆顶到叶子的调整过程为“筛选”。
(3)要解决的两个问题:
1、如何由一个无序序列建成一个堆;
2、输出一个根结点后,如何将剩余元素调整成一个堆。
将一个无序序列建成一个堆是一个反复“筛选”的过程。若将此序列看成是一个完全二叉树,则最后一个非终端结点是第floor(n/2)个元素,由此“筛选”只需从第floor(n/2)个元素开始。
堆排序中需一个记录大小的辅助空间,每个待排的记录仅占有一个存储空间。堆排序方法当记录较少时,不值得提倡。当n很大时,效率很高。堆排序是不稳定的。
堆排序的算法和筛选的算法如第二节所示。为使排序结果是非递减有序排列,我们在排序算法中先建一个“大顶堆”,即先选得一个关键字为最大的记录并与序列中最后一个记录交换,然后对序列中前n-1个记录进行筛选,重新将它调整为一个“大顶堆”,然后将选得的一个关键字为最大的记录(也就是第一个元素)与当前最后一个记录交换(全局看是第n-1个),如此往复,直到排序结束。由到,筛选应按关键字较大的孩子结点向下进行。
堆排序的算法描述如下:
用C语言代码实现如下:
复制代码 代码如下:
#include "iostream"
using namespace std;
#define MAXSIZE 20
typedef struct
{
int key;
//其他数据信息
}RedType;
typedef struct
{
RedType r[MAXSIZE+1];
int length;
}Sqlist;
typedef Sqlist HeapType; //堆采用顺序表存储表示
void HeapAdjust(HeapType &H,int s,int m) //已知H.r[s...m]中记录的关键字出H.r[s].key之外均满足堆的定义,本函数调整H.r[s]的关键字,使H.r[s...m]成为一个大顶堆(对其中记录的关键字而言)
{
int j;
RedType rc;
rc=H.r[s];
for(j=2*s;j<=m;j*=2) //沿key较大的孩子结点向下筛选
{
if(j<m && (H.r[j].key<H.r[j+1].key)) //j为key较大的记录的下标
++j;
if(rc.key>=H.r[j].key) //rc应插入在位置s上
break;
H.r[s]=H.r[j]; //将左、右孩子较大的结点与父节点进行交换,建成大顶堆
s=j;
}
H.r[s]=rc; //插入
}
void HeapSort(HeapType &H) //对顺序表H进行堆排序
{
int i;
for(i=H.length/2;i>0;--i) //由一个无序序列建成一个大顶堆,将序列看成是一个完全二叉树,则最后一个非终端节点是第n/2个元素
HeapAdjust(H,i,H.length);
for(i=H.length;i>1;--i)
{
H.r[0]=H.r[1]; //将堆顶记录和当前未经排序的子序列H.r[1...i]中最后一个记录相互交换
H.r[1]=H.r[i];
H.r[i]=H.r[0];
HeapAdjust(H,1,i-1); //将H.r[1...i-1]重新调整为大顶堆
}
}//HeapSort
void InputL(Sqlist &L)
{
int i;
printf("Please input the length:");
scanf("%d",&L.length);
printf("Please input the data needed to sort:\n");
for(i=1;i<=L.length;i++) //从数组的第1个下标开始存储,第0个下标作为一个用于交换的临时变量
scanf("%d",&L.r[i].key);
}
void OutputL(Sqlist &L)
{
int i;
printf("The data after sorting is:\n");
for(i=1;i<=L.length;i++)
printf("%d ",L.r[i].key);
printf("\n");
}
int main(void)
{
Sqlist H;
InputL(H);
HeapSort(H);
OutputL(H);
system("pause");
return 0;
}
不使用上面的结构体的另外一种方法如下:
复制代码 代码如下:
/*
*堆排序
*/
#include "iostream"
using namespace std;
#define N 10
int array[N];
void man_input(int *array)
{
int i;
for(i=1;i<=N;i++)
{
printf("array[%d]=",i);
scanf("%d",&array[i]);
}
}
void mySwap(int *a,int *b)//交换
{
int temp;
temp=*a;
*a=*b;
*b=temp;
}
void heap_adjust(int *heap,int root,int len) //对堆进行调整,使下标从root到len的无序序列成为一个大顶堆
{
int i=2*root;
int t=heap[root];
while(i<=len)
{
if(i<len)
{
if(heap[i]<heap[i+1])
i++;
}
if(t>=heap[i])
break;
heap[i/2]=heap[i];
i=2*i;
}
heap[i/2]=t;
}
void heapSort(int *heap,int len) //堆排序
{
int i;
for(i=len/2;i>0;i--) //由一个无序序列建成一个大顶堆,将序列看成是一个完全二叉树,则最后一个非终端节点是第len/2个元素
{
heap_adjust(heap,i,len);
}
for(i=len;i>=1;i--)
{
mySwap(heap+i,heap+1); //将堆顶记录与最后一个记录相互交换
heap_adjust(heap,1,i-1); //将下标为1~i-1的记录重新调整为大顶堆
}
}
void print_array(int *array,int n)
{
int k;
for(k=1;k<n+1;k++)
{
printf("%d\t",array[k]);
}
}
int main(void)
{
man_input(array);
heapSort(array,N);
printf("\nAfter sorted by the heap_sort algorithm:\n");
print_array(array,N); //打印堆排序结果
system("pause");
return 0;
}