快速幂算法是一种高效计算整数幂的算法，它能在对数时间内计算 ( x^n )（给定一个底数 ( x ) 以及一个非负整数 ( n )）。常规方法需要 ( O(n) ) 的时间复杂度，而快速幂算法将时间复杂度降低到 ( O(\log n) )。这个算法的主要思想是利用幂的性质，将指数不断折半。

概念

当我们计算 ( x^n ) 时，可以根据 ( n ) 的奇偶性来简化计算：

• 如果 ( n ) 是偶数： [ x^n = (x^{n/2})^2 ]
• 如果 ( n ) 是奇数： [ x^n = x \cdot (x^{n-1}) \quad \text{而 } (x^{n-1}) \text{ 中的 } n-1 \text{ 是偶数 } ]

快速幂算法的步骤

1. 初始化：设置结果为 1。
2. 循环：每次将基数平分，并通过检查指数是否为奇数来更新结果。
3. 取模：在每次乘法时，取模以避免数字过大（在处理大数时特别有用）。

示例代码

下面是快速幂算法的一个简单实现，返回 ( x^n \mod \text{mod} )。

#include <iostream>
using namespace std;

long long quickPow(long long x, long long n, long long mod) {
    long long result = 1;
    x = x % mod; // 将 x 约简到 mod 方法下

    while (n > 0) {
        if (n % 2 == 1) { // 如果 n 是奇数
            result = (result * x) % mod; // 将结果乘上当前基数
        }
        x = (x * x) % mod; // 基数自身平方
        n /= 2; // 指数除以 2
    }

    return result;
}

int main() {
    long long x = 3;
    long long n = 10;
    long long mod = 1000000007;
    
    cout << "Result: " << quickPow(x, n, mod) << endl; // 输出 3^10 % 1000000007
    return 0;
}

代码解释

• 初始结果：我们初始化 result 为 1（因为任何数的 0 次幂为 1）。
• 基数折半：每次循环中，如果指数 ( n ) 是奇数，则将当前 result 乘以基数 ( x )。
• 基数平方：每次平方当前基数，从而使得每次迭代减少指数的数量。
• 更新 n：使用整数除以 2 的方式（即右移运算）。

算法的复杂度

• 时间复杂度：( O(\log n) )，由于每次循环都将 ( n ) 除以 2。
• 空间复杂度：( O(1) )，因为只使用了有限的变量。

应用场景

快速幂算法广泛应用于：

• 大数计算，尤其是在模运算中。
• 数学和密码学中的指数运算。
• 计算 Fibonacci 数列和其他与指数相关的计算问题。

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