逻辑回归是一种用于解决分类问题的统计方法。它的核心思想是通过建立一个函数来预测事件发生的概率。在逻辑回归中，我们使用逻辑函数（sigmoid函数）进行概率转换，从而将线性回归的输出映射到0到1之间的概率值。本文旨在构建逻辑回归模型，解决分类问题，通过概率转换实现事件预测。从概率论回顾、逻辑函数应用，到模型构建、优化与评估，提供Python代码实现，全方位指导逻辑回归从入门到精通。

逻辑回归是一种用于解决二分类问题的统计方法。它的核心思想是通过建立一个函数来预测事件发生的概率。逻辑回归通过逻辑函数（sigmoid函数）进行概率转换，将线性回归的输出映射到0到1之间的概率值。下面我们回顾概率论的基本概念，包括概率、条件概率、独立事件和随机变量等。

示例代码：sigmoid 函数实现

import numpy as np

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

逻辑函数与 sigmoid 函数

逻辑函数是逻辑回归的关键部分，它通过将输入转换为一个在0到1之间的值来表示概率。sigmoid函数是逻辑回归中常用的逻辑函数，其数学表达式为：

σ(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}

sigmoid函数的特性：

• 当z为正数时，函数值接近于1，表示事件发生的概率高；
• 当z为负数时，函数值接近于0，表示事件发生的概率低；
• 当z为0时，函数值等于0.5，表示事件发生的概率为50%。

示例代码：sigmoid 函数实现

import numpy as np

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

逻辑回归模型旨在找到一组参数，使得预测概率与实际结果尽可能匹配。我们通过最小化损失函数来调整这些参数，达到最佳拟合目的。

线性回归与逻辑回归的区别

线性回归用于预测连续值，而逻辑回归用于解决二分类问题。逻辑回归通过将线性回归的输出通过一个连续的函数（如sigmoid函数）转换为概率。

示例代码：逻辑回归模型实现

class LogisticRegression:
    def __init__(self, learning_rate=0.01, num_iterations=1000):
        self.learning_rate = learning_rate
        self.num_iterations = num_iterations

    def fit(self, X, y):
        m, n = X.shape
        self.w = np.zeros(n)
        self.b = 0

        for _ in range(self.num_iterations):
            z = np.dot(X, self.w) + self.b
            p = sigmoid(z)
            gradient_w = (1 / m) * np.dot(X.T, (p - y))
            gradient_b = (1 / m) * np.sum(p - y)
            self.w -= self.learning_rate * gradient_w
            self.b -= self.learning_rate * gradient_b

    def predict(self, X):
        z = np.dot(X, self.w) + self.b
        return sigmoid(z)

数据预处理是机器学习模型构建过程中的关键步骤。它涉及特征选择、特征工程、数据清洗和标准化等过程。

示例代码：数据预处理

from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 加载数据
data = pd.read_csv('data.csv')
X = data.drop('target', axis=1)
y = data['target']

# 数据预处理
scaler = StandardScaler()
X = scaler.fit_transform(X)

示例代码：特征选择与工程

from sklearn.feature_selection import SelectKBest
from sklearn.feature_selection import f_classif

selector = SelectKBest(score_func=f_classif, k=10)
X_new = selector.fit_transform(X, y)

逻辑回归模型的训练涉及最小化损失函数，最常用的是交叉熵损失函数，通过梯度下降法或其他优化算法更新参数。

示例代码：逻辑回归模型训练

from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split

X, y = make_classification(n_samples=100, n_features=2, random_state=42)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

model = LogisticRegression()
model.fit(X_train, y_train)
predictions = model.predict(X_test)

模型评估是衡量模型性能的关键步骤，涉及使用准确率、召回率、F1分数、ROC曲线和AUC值等指标。

示例代码：模型评估与优化

from sklearn.metrics import accuracy_score, recall_score, f1_score, roc_auc_score

def evaluate_model(model, X_test, y_test):
    y_pred = model.predict(X_test)
    acc = accuracy_score(y_test, y_pred)
    recall = recall_score(y_test, y_pred)
    f1 = f1_score(y_test, y_pred)
    roc_auc = roc_auc_score(y_test, model.predict_proba(X_test)[:, 1])
    return acc, recall, f1, roc_auc

acc, recall, f1, roc_auc = evaluate_model(model, X_test, y_test)

使用 Python 与 Scikit-learn 库

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split, cross_val_score, GridSearchCV
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import roc_auc_score

# 加载数据
data = pd.read_csv('data.csv')
X = data.drop('target', axis=1)
y = data['target']

# 数据预处理
scaler = StandardScaler()
X = scaler.fit_transform(X)

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 模型训练
model = LogisticRegression()
model.fit(X_train, y_train)

# 超参数调优
param_grid = {'C': [0.01, 0.1, 1, 10, 100], 'penalty': ['l1', 'l2']}
grid_search = GridSearchCV(model, param_grid, cv=5)
grid_search.fit(X_train, y_train)

# 模型评估
predictions = model.predict(X_test)
roc_auc_score(y_test, model.predict_proba(X_test)[:, 1])

通过上述步骤，我们可以从逻辑回归的基础理解到实现完整的实战案例，包括数据预处理、模型训练、评估与优化，最终完成一个逻辑回归模型的构建与应用。