最小二乘法介绍✨

最小二乘法（Least Squares Method）是一种常见的数学优化技术，广泛应用于数据拟合、回归分析和参数估计等领域。其目标是通过最小化残差平方和来找到一组参数，使得模型预测值与观测值之间的差异最小化。

最小二乘法的原理✨

线性回归模型将因变量 （y） 与至少一个自变量 （x） 之间的关系建立为：

在 OLS 方法中，我们必须选择一个b1和b0的值，以便将 y 的实际值和拟合值之间的差值的平方和最小化。

平方和的公式如下：

我们可以把它看成是一个关于b1和b0的函数，分别对b1和b0求偏导，然后让偏导等于0，就可以得到最小平方和对应的b1和b0的值。

先说结果，斜率最后推导出来如下所示：

截距推导出来结果如下：

don't worry about that，慢慢推导总是可以弄明白的（不感兴趣可以直接略过）：

用C#实现最小二乘法✨

创建数据点✨

首先创建想要拟合的数据点：

 NDArray? x, y;

x,y为全局变量。

  //使用NumSharp创建线性回归的数据集
  x = np.arange(0, 10, 0.2);
  y = 2 * x + 3 + np.random.normal(0, 3, x.size);

使用到了NumSharp，需要为项目添加NumSharp包：

 x = np.arange(0, 10, 0.2);

的意思是x从0增加到10（不包含10），步长为0.2：

np.random.normal(0, 3, x.size);

的意思是生成了一个均值为0，标准差为3，数量与x数组长度相同的正态分布随机数数组。这个数组被用作线性回归数据的噪声。

使用OxyPlot画散点图✨

OxyPlot是一个用于在.NET应用程序中创建数据可视化图表的开源图表库。它提供了丰富的功能和灵活性，使开发者能够轻松地在其应用程序中集成各种类型的图表，包括折线图、柱状图、饼图等。

添加OxyPlot.WindowsForms包：

将PlotView控件添加到窗体设计器上：

// 初始化散点图数据
var scatterSeries = new ScatterSeries
{
    MarkerType = MarkerType.Circle,
    MarkerSize = 5,
    MarkerFill = OxyColors.Blue
};

表示标志为圆形，标志用蓝色填充，标志的大小为5。

  for (int i = 0; i < x.size; i++)
  {
      scatterSeries.Points.Add(new ScatterPoint(x[i], y[i]));
  }

添加数据点。

 PlotModel? plotModel;

将plotModel设置为全局变量。

 // 创建 PlotModel
 plotModel = new PlotModel()
 {
     Title = "散点图"
 };
 plotModel.Series.Add(scatterSeries);
​
 // 将 PlotModel 设置到 PlotView
 plotView1.Model = plotModel;

这样就成功绘制了散点图，效果如下所示：

使用最小二乘法拟合数据点✨

double a = 0;
double c = 0;
​
double x_mean = x?.mean();
double y_mean = y?.mean();
​
//计算a和c
for(int i = 0; i < x?.size; i++) 
{
    a += (x[i] - x_mean) * (y?[i] - y_mean);
    c += (x[i] - x_mean) * (x[i] - x_mean);
}
​
//计算斜率和截距
double m = a / c;
double b = y_mean - m * x_mean;
​
//拟合的直线
var y2 = m * x + b;

套用公式就可以，a表示上面斜率公式的上面那部分，c表示上面斜率公式的下面那部分。

double x_mean = x?.mean();
double y_mean = y?.mean();

计算x与y的平均值。

使用OxyPlot画拟合出来的直线✨

 //画这条直线         
 var lineSeries = new LineSeries
 {
     Points = { new DataPoint(x?[0], y2[0]), new DataPoint(x?[-1], y2[-1]) },
     Color = OxyColors.Red
 };
​
 // 创建 PlotModel         
 plotModel?.Series.Add(lineSeries);
​
 // 为图表添加标题
 if (plotModel != null)
 {
     plotModel.Title = $"拟合的直线 y = {m:0.00}x + {b:0.00}";
 }
​
 // 刷新 PlotView
 plotView1.InvalidatePlot(true);

 Points = { new DataPoint(x?[0], y2[0]), new DataPoint(x?[-1], y2[-1]) },

画直线只要添加两个点就好了x?[0], y2[0]表示x和y的第一个点，x?[-1], y2[-1])表示x和y的最后一个点，使用了NumSharp的切片语法。

画出来的效果如下所示：

C#实现的全部代码：

using NumSharp;
using OxyPlot.Series;
using OxyPlot;
namespace OlsRegressionDemoUsingWinform
{
    public partial class Form1 : Form
    {
        NDArray? x, y;
        PlotModel? plotModel;
        public Form1()
        {
            InitializeComponent();
        }
​
        private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            //使用NumSharp创建线性回归的数据集
            x = np.arange(0, 10, 0.2);
            y = 2 * x + 3 + np.random.normal(0, 3, x.size);
​
            // 初始化散点图数据
            var scatterSeries = new ScatterSeries
            {
                MarkerType = MarkerType.Circle,
                MarkerSize = 5,
                MarkerFill = OxyColors.Blue
            };
​
            for (int i = 0; i < x.size; i++)
            {
                scatterSeries.Points.Add(new ScatterPoint(x[i], y[i]));
            }
​
            // 创建 PlotModel
            plotModel = new PlotModel()
            {
                Title = "散点图"
            };
            plotModel.Series.Add(scatterSeries);
​
            // 将 PlotModel 设置到 PlotView
            plotView1.Model = plotModel;
​
​
​
​
        }
​
        private void button2_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            double a = 0;
            double c = 0;
​
            double x_mean = x?.mean();
            double y_mean = y?.mean();
​
            //计算a和c
            for(int i = 0; i < x?.size; i++) 
            {
                a += (x[i] - x_mean) * (y?[i] - y_mean);
                c += (x[i] - x_mean) * (x[i] - x_mean);
            }