P4688 [Ynoi2016] 掉进兔子洞

序列，静态，求三个区间的可重集的交的大小，离线，\(n,Q\le 10^5\)，3s，500MB

缺乏性质 \(\rightarrow\) bitset

静态区间 \(\rightarrow\) 莫队化为单点改

bitset 支持取交，\(x\) 重复 \(cnt_x\) 次即可，空间 \(O(n^2/w)\)，时间 \(O(n\sqrt n+{n^2\over w})\)，分三次处理减小空间常数

P4690 [Ynoi2016] 镜中的昆虫

序列，区间赋值，区间数颜色，离线，\(n,Q\le 10^5\)，1s，64MB

数颜色 \(\rightarrow\) 维护 pre

珂朵莉树 \(\rightarrow\) pre 只改变 \(O(Q)\) 次

转化：单点改 pre，查询 \([l,r]\) 内 pre 小于 \(l\) 的数量

1. 树套树，在线，空间 \(O(n\log n)\)，时间 \(O(n\log^2 n)\)，过不去
2. CDQ，离线，空间 \(O(n)\)，时间 \(O(n\log^2 n)\)，正解

P5064 [Ynoi2014] 等这场战争结束之后

图，动态加边，回退到某历史版本，查询某个连通块中权值第 \(k\) 小，离线。\(n,Q\le 10^5\)，500ms，20MB

回退历史版本 & 可离线 \(\rightarrow\) dfs 操作树转为撤销

第 \(k\) 小 & 可合并 \(\rightarrow\) 值域分块 或 bitset

1. 值域分块

   值域每 \(B\) 个分成一块，按块离线，记录每个连通块点数。

   • 合并、撤销连通块：暴力 \(O({n^2\over B}\log n)\)，注意到并查集操作对每个值域块相同，预处理可 \(O(n^2/B)\)。
   • 查询连通块第 \(k\) 小：
     • 枚举值域内每个数判断，\(O(nB\log n)\)。
     • 每个并查集开桶，\(O(nB)\)，空间 \(O(nB)\)，\(B\) 需要开很小。
     • 使用链表维护，可以是有序链表归并（难写）或每次把链表所有数拿出来 nth_element，\(O(nB)\)。

   总时间复杂度 \(O(n\sqrt{n\log n})\) 或 \(O(n\sqrt{n})\)，空间线性。

2. bitset 压位

   查询 bitset 可直接 \(O(n/w)\)。

   不能开 \(n\) 个 bitset \(\rightarrow\) 对于点数小于 \(n/w\) 的连通块用链表维护，同时至多存在 \(w\) 个 bitset，空间线性。

   链表查询，合并同上。链表并入 bitset 可启发式暴力。

   总时间复杂度 \(O(n^2/w)\)，空间线性。

P5354 [Ynoi2017] 由乃的 OJ

树，每个点的效果为 \(\operatorname{and}/\operatorname{or}/\operatorname{xor}\) 一个数，单点改，询问 \([0,z]\) 中所有数经过路径操作得到的最大值，无需离线。\(n,Q\le 10^5\)，值域 \(2^{64}\)，250ms，128MB。

二进制操作 \(\rightarrow\) 拆位

二进制复合 \(\rightarrow\) 压位处理复合矩阵，同时处理 \(k\) 位的复合，\(O(k)\rightarrow O(1)\)

总时间复杂度 \(O(n\log^2n+nk)\)

P6109 [Ynoi2009] rprmq1

二维平面，先修改后查询，矩形加，矩形求 \(\max\)。\(n\le 5\times 10^4,Q\le 5\times 10^5\)，4s，512MB。

矩阵 \(\rightarrow\) 将一维时间化，离线问题转为在线问题

修改，询问在一段时间区间生效 \(\rightarrow\) 猫树转为对一段后缀有效（即修改后无需撤销，询问等价于查历史信息和）

区间加历史最值即可，时间复杂度 \(O(n\log^2n+Q\log n)\)

P6780 [Ynoi2009] pmrllcsrms

序列，单点改，求区间长度不超过 \(c\) 的最大字段和，其中 \(c\) 为全局定值，无需离线。\(n,Q\le 10^6\)，6s，512MB。

长度不超过 \(c\) \(\rightarrow\) 每 \(c\) 个位置分一块，询问分为每块内全部或两相邻块之间

相邻块后前缀长度和不超过 \(c\) \(\rightarrow\) 直角三角形模式，分成一个矩形和两个小直角三角形

时间复杂度 \(O(n\log n)\)

P6783 [Ynoi2008] rrusq

二维平面，\(n\) 个带权点，\(m\) 个矩形，\(Q\) 次询问区间 \([l,r]\) 内的矩形并中点权之和，离线。\(n,m\le 10^5,Q\le 10^6\)，4s，128MB。

静态区间，难以增量 \(\rightarrow\) 扫右维护左

点出现在区间并中 \(\rightarrow\) 扫右端点，维护每个点最后出现时间

KD-Tree，每次暴力收回子树内的出现时间 tag 即可

询问使用 \(O(1)-O(\sqrt n)\) 的数组维护

时间复杂度 \(O(n\sqrt Q+Q\sqrt n)\)

P7446 [Ynoi2007] rfplca

序列，区间减，询问 \(fa\) 数组形成的树上某两个点的 LCA，无需离线。\(n,Q\le 4\times 10^5\)，保证 \(fa_i<i\)，2.5s，64MB。

形式奇怪 \(\rightarrow\) 考虑分块

询问 LCA \(\rightarrow\) 不断跳 \(fa\)

不断进行重复操作 \(\rightarrow\) 记录每个点跳出块后的第一个位置

散块直接重构，整块 \(\sqrt n\) 次后全部出块，直接打 tag，询问 trivial，时间复杂度 \(O(n\sqrt n)\)

P7447 [Ynoi2007] rgxsxrs

序列，区间大于 \(x\) 的数减 \(x\)，区间和与最小最大值，无需离线。\(n,Q\le 5\times 10^5,a_i\le 10^9\)，6s，64MB。

和值域有关 \(\rightarrow\) 值域倍增分块（？）

1. 块大于 \(x\)，打标记或降块，降块至多 \(\log V\) 次，产生 \(\log n\) 的复杂度后必然降块
2. 块等于 \(x\)，暴力找到所有需要减小的 \(a_i\)，单个 \(a_i\) 同块内至多减小 \(b\) 次（\(b\) 为倍增底数）

时间复杂度 \(O(nb\log_bV\log n)\)。空间底层分块后线性。

P7722 [Ynoi2007] tmpq

三个序列 \(a,b,c\)，单点改 \(a\)，询问有几个 \(i<j<k\le r\) 满足 \(b_{a_i}=a_j=c_{a_k}\)，离线。\(n\le 2\times 10^5,Q\le 5\times 10^4\)，4s，64MB。

阴间条件 \(\rightarrow\) 单点改 \(a,b,c\)，询问 \(b_i=a_j=c_k\)

颜色相关 \(\rightarrow\) 次数大小分治，小者暴力，大者维护

小颜色暴力重新 dp，\(O(Q\sqrt n)\) 次区间加，\(O(Q)\) 次单点查

大颜色维护动态 dp，分块维护块内前缀 dp 结果及前缀块 dp 结果，单点改 \(O(\sqrt n)\)，查询 前缀块+块内前缀=\(O(1)\)

总时间复杂度 \(O(Q\sqrt n)\)，空间离线做到线性

P7880 [Ynoi2006] rldcot

树，边带权（可以为负），静态，\(Q\) 次询问 \([l,r]\) 内的点对有几种不同的 \(\operatorname{lca}\) 带权深度，离线。注意不保证 \(fa_i\le i\)。\(n\le 10^5,Q\le 5\times 10^5\)，500ms，512MB。

合法子区间计数 \(\rightarrow\) 考虑有用点对

树上有用点对 \(\rightarrow\) 重剖，由轻子树合并上来，有用点对 \(O(n\log n)\) 对

问题转化为给定 \(O(n\log n)\) 对带权点对，求区间内存在哪些权值。

静态区间问题 \(\rightarrow\) 扫右维护左，转为在线问题

给前缀放上一个颜色，求单点颜色数，树状数组即可。时间复杂度 \(O(n\log^2 n+Q\log n)\)。

P7881 [Ynoi2006] rmpq

二维平面，抽象信息类，半平面乘，单点查，强制在线。\(Q\le 10^5,x_i,y_i\le 10^9\)，操作次数 \(2\times 10^7\)，2s，512MB。

无法 KD-Tree（值域过大且无法离线）。

很想离线（？）\(\rightarrow\) 根号重构。

问题变成预处理 \(B\) 次修改后每个位置的答案。

发现易于用 \(O(k^2)\) 的时间合并两个大小为 \(k\) 的子问题，所以递归两个子问题就可以做到 \(O(B^2)\) 处理。

总时间复杂度 \(O(nB+{n^2\over B})=O(n\sqrt n)\)。