LASSO（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）回归模型一般都是用英文缩写表示，
硬要翻译的话，可翻译为 最小绝对收缩和选择算子。

它是一种线性回归模型的扩展，其主要目标是解决高维数据中的特征选择和正则化问题。

1. 概述

在LASSO中，通过使用L1正则化项，它能够在回归系数中引入稀疏性，
也就是允许某些系数在优化过程中缩减为零，从而实现特征的选择。

与岭回归不同的是，LASSO的损失函数一般定义为：\(L(w) = (y-wX)^2+\lambda\parallel w\parallel_1\)
其中 \(\lambda\parallel w\parallel_1\)，也就是 L1正则化项（岭回归中用的是 L2正则化项）。

模型训练的过程就是寻找让损失函数\(L(w)\)最小的参数\(w\)。
也就等价于：\(\begin{align} & arg\ min(y-wX)^2 \\ & s.t. \sum |w_{ij}| < s \end{align}\)
这两个公式表示，在满足约束条件 \(\sum |w_{ij}| < s\)的情况下，计算 \((y-wX)^2\)的最小值。

2. 创建样本数据

相比于岭回归模型，LASSO回归模型不仅对于共线性数据集友好，
对于高维数据的数据集，也有不错的性能表现。

它通过将不重要的特征的系数压缩为零，帮助我们选择最重要的特征，从而提高模型的预测准确性和可解释性。
下面我们模拟创建一些高维数据，创建一个特征数比样本数还多的样本数据集。

from sklearn.datasets import make_regression

X, y = make_regression(n_samples=80, n_features=100, noise=10)

这个数据集中，只有80个样本，每个样本却有100个特征，并且噪声也设置的很大（noise=10）。

3. 模型训练

第一步，分割训练集和测试集。

from sklearn.model_selection import train_test_split

# 分割训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.1)

用scikit-learn中的LASSO模型来训练：

from sklearn.linear_model import Lasso

# 初始化LASSO线性模型
reg = Lasso()
# 训练模型
reg.fit(X_train, y_train)

这里使用的 Lasso()的默认参数来训练模型，它的主要参数包括：

1. alpha：正则化项系数。它控制了L1正则化项的强度，即对模型复杂度的惩罚。alpha越大，模型越简单，但过大的alpha可能会导致模型欠拟合；alpha越小，模型越复杂，但过小的alpha可能会导致模型过拟合。默认值为1.0。
2. fit_intercept：布尔值，指定是否需要计算截距b值。如果设为False，则不计算b值。默认值为True。
3. normalize：布尔值。如果设为True，则在模型训练之前将数据归一化。默认值为False。
4. precompute：布尔值，指定是否预先计算X的平方和。如果设为True，则在每次迭代之前计算X的平方和。默认值为False。
5. copy_X：布尔值，指定是否在训练过程中复制X。如果设为True，则在训练过程中复制X。默认值为True。
6. max_iter：最大迭代次数。默认值为1000。
7. tol：阈值，用于判断是否达到收敛条件。默认值为1e-4。
8. warm_start：布尔值，如果设为True，则使用前一次的解作为本次迭代的起始点。默认值为False。
9. positive：布尔值，如果设为True，则强制系数为正。默认值为False。
10. selection：用于在每次迭代中选择系数的算法（有“cyclic”和“random”两种选择）。默认值为“cyclic”，即循环选择。

最后验证模型的训练效果：

from sklearn import metrics

y_pred = reg.predict(X_test)
mse = metrics.mean_squared_error(y_test, y_pred)
r2 = metrics.r2_score(y_test, y_pred)
m_error = metrics.median_absolute_error(y_test, y_pred)

print("均方误差：{}".format(mse))
print("复相关系数：{}".format(r2))
print("中位数绝对误差：{}".format(m_error))

# 运行结果
均方误差：441.07830708712186
复相关系数：0.9838880665687711
中位数绝对误差：11.643348614829785

误差看上去不小，因为这次实际生成的样本，不仅数量小（80件）且噪声大（noise=10）。

3.1. 与岭回归模型比较

单独看LASSO模型的训练结果，看不出其处理高维数据的优势。
同样用上面分割好的训练集和测试集，来看看岭回归模型的拟合效果。

from sklearn.linear_model import Ridge
# from sklearn.model_selection import train_test_split

mse, r2, m_error = 0.0, 0.0, 0.0

# 初始化岭回归线性模型
reg = Ridge()
# 训练模型
reg.fit(X_train, y_train)

y_pred = reg.predict(X_test)
mse = metrics.mean_squared_error(y_test, y_pred)
r2 = metrics.r2_score(y_test, y_pred)
m_error = metrics.median_absolute_error(y_test, y_pred)

print("均方误差：{}".format(mse))
print("复相关系数：{}".format(r2))
print("中位数绝对误差：{}".format(m_error))

# 运行结果
均方误差：6315.046844910431
复相关系数：0.7693207470296398
中位数绝对误差：60.65140692273637

对于高维数据，可以看出，岭回归模型的误差 远远大于 LASSO模型。

3.2. 与最小二乘法模型比较

同样用上面分割好的训练集和测试集，再来看看线性模型（最小二乘法）的拟合效果。

from sklearn.linear_model import LinearRegression

mse, r2, m_error = 0.0, 0.0, 0.0

# 初始化最小二乘法线性模型
reg = LinearRegression()
# 训练模型
reg.fit(X_train, y_train)

y_pred = reg.predict(X_test)
mse = metrics.mean_squared_error(y_test, y_pred)
r2 = metrics.r2_score(y_test, y_pred)
m_error = metrics.median_absolute_error(y_test, y_pred)

print("均方误差：{}".format(mse))
print("复相关系数：{}".format(r2))
print("中位数绝对误差：{}".format(m_error))

# 运行结果
均方误差：5912.442445894787
复相关系数：0.7840272859181612
中位数绝对误差：62.89225147465376

可以看出，线性模型的训练效果和岭回归模型差不多，但是都远远不如LASSO模型。

4. 总结

总的来说，LASSO回归模型是一种流行的线性回归扩展，具有一些显著的优势和劣势。
比如，在特征选择上，LASSO通过将某些系数压缩为零，能够有效地进行特征选择，这在高维数据集中特别有用。
此外，LASSO可以作为正则化工具，有助于防止过拟合。

不过，LASSO会假设特征是线性相关的，对于非线性关系的数据，效果可能不佳。
而且，如果数据存在复杂模式或噪声，LASSO可能会过度拟合这些模式。