最小生成树

前置知识

• 并查集

• 图论

概念

条件

最小生成树的满足条件为：

• 在无向图中选取总权值最少的边让所有点连通。

• 要求结果是一棵树，边数比点数少 \(1\)。

当然，最小生成树的结果可能不唯一。

特性

• 图中任意一条非树边都会和树边构成一个环。
• 非树边一定是环中最大的边。否则可以替换掉最大的边，得到一个更小生成树。

其他

最小生成树有两种算法：Kruskal 和 Prim。

Kruskal 是在并查集的基础上展开。

Prim 是在最短路的基础上展开。

Kruskal

我们可以从选边的角度来构造生成树，通过点的连通性来对边的选取进行判断。

我们按权值由小到大选择不成环的边加入树中。（由树的特性可知，成环时该边一定是环中最大的边，不应该选取）。如果选出的边比点数少 \(1\)，说明最小生成树存在，否则不存在。

那么如何快速的判断是否成环？我们可以使用并查集来合并点及判断点的连通性。

步骤

1. 读入所有边并初始化并查集（\(f_i = i\)）。

2. 按权值排序。

3. 合并所有边并计算答案。

4. 输出。

Prim

可以从选点的角度来构造生成树，不断将新的点拉入生成树中。

步骤

1. 读入所有边。

2. 把所有点的距离设为 \(\infty\)，并将任意一点距离设为 \(0\)。

3. 寻找没有进入生成树且距离最小的点进入生成树并累加距离到答案。

4. 更新相邻点距离。

5. 重复 \(3, 4\) 步直到所有点进入生成树。

6. 输出。

例题 1（洛谷 P3366 【模板】最小生成树）

给出一个无向图，求出最小生成树，如果该图不连通，则输出 orz。

原题：https://www.luogu.com.cn/problem/P3366

【Kruskal】

代码是以前写的，可能不好看。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define qwq ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
const int N = 200000 + 20, M = 5000 + 50;

struct node {
  int x, y, z;
  friend bool operator<(const node &a, const node &b) {
    return a.z < b.z;
  }
};

node edge[N];
int n, m, x, y, z, f[M], l[M], ans = 0;
bool b = 1;

int find(int i) {
  if (f[i] == i)
    return i;
  return f[i] = find(f[i]);
}

void merge(int u, int v) {
  u = find(u), v = find(v);
  if (l[u] > l[v]) {
    swap(l[u], l[v]);
  }
  f[u] = v;
  l[v] += l[u];
}

int main() {
  qwq;
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    f[i] = i, l[i] = 1;
  }
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    cin >> edge[i].x >> edge[i].y >> edge[i].z;
  }
  sort(edge + 1, edge + m + 1);
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    if (find(edge[i].x) == find(edge[i].y))
      continue;
    merge(edge[i].x, edge[i].y);
    ans += edge[i].z;
    if (l[find(edge[i].x)] == n || l[find(edge[i].y)] == n) {
      b = 0;
      break;
    }
  }
  if (b)
    cout << "orz";
  else
    cout << ans;
  return 0;
}

【Prim】

借鉴一下老师写的，我写的 Kruskal。

例题 2（洛谷 P1550 [USACO08OCT] Watering Hole G）

Farmer John 决定将水引入到他的 \(n\) 个农场。他准备通过挖若干井，并在各块田中修筑水道来连通各块田地以供水。在第 \(i\) 号田中挖一口井需要花费 \(W_i\) 元。连接 \(i\) 号田与 \(j\) 号田需要 \(P_{i,j}\)（\(P_{j,i}=P_{i,j}\)）元。

每次输入 \(w_i\) 时，把 \(i\) 和 \(n + 1\) 连接，边权为 \(w_i\)。

然后在输入 \(p\) 数组后，套一个双层循环，如果 \(i \neq j\)，把 \(i\) 和 \(j\) 连接
，边权为 \(p_{i, j}\)。

存完边之后按照边权排序。排序后跑一遍 Kruskal 即可。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>

using namespace std;

using ll = long long;

#define mtest for (cin >> t; t; -- t)

const int kMaxN = 1e5 + 10, kMaxM = 1010, kInf = (((1 << 30) - 1) << 1) + 1;
const ll kLInf = 9.22e18;

int n, w[kMaxN], f[kMaxN], p[kMaxM][kMaxM], ans = 0;

struct node {
  int u, v, w;
} e[kMaxN];

int F(int x) {
  return f[x] == x? x : f[x] = F(f[x]);
}

bool cmp(node a, node b) {
  return a.w < b.w; // 注意是 <
}

void U(int u, int v, int w) {
  int x = F(u), y = F(v);
  if (x != y) {
    f[f[u]] = f[v];
    ans += w;
  }
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
  cin >> n;
  for (int i = 1; i - 1 <= n; ++ i) { // 初始化
    f[i] = i;
  }
  int id = 0;
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) { // 村边
    e[++ id].u = i;
    e[id].v    = n + 1;
    // i & n + 1 连接
    cin >> e[id].w;
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
      cin >> p[i][j];
    }
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
      if (i == j) {
        continue;
      }
      e[++ id].u = i;
      e[id].v = j;
      // i & j 连接
      e[id].w = p[i][j];
    }
  }
  sort(e + 1, e + id + 1, cmp); // 按边权排序
  for (int i = 1; i <= id; ++ i) { // 跑 Kruskal 
    U(e[i].u, e[i].v, e[i].w); 
  }
  cout << ans << '\n';
  return 0;
}

习题

1. 洛谷 P1194 / P1195 / P1396 / P2330 / P2700 / P4047。

2. 自行在 CF / AT 上面找关于最小生成树的题。