原作：Keith Peters https://www.bit-101.com/blog/2022/11/coding-curves/

译者：池中物王二狗(sheldon)

blog: http://cnblogs.com/willian/

源码：github: https://github.com/willian12345/coding-curves

曲线艺术编程系列第 5 章

这一篇幅建立在对第四章利萨茹曲线的讨论之上。事实上谐波图形并不是一类曲线，它是一种用于绘制（模拟）利萨茹曲线的装置。当我说一个装置时，我的意思就是真实物理世界的一个设备，它由绳子、链条、杠杆、笔、沙瓶、钟摆或其它机械结构组成用于创建这些曲线。

真谐波图形

我第一次碰到谐波图形是在波士顿的一个科技馆中。那是在我小时候众多旅行中的一次。它是一个类似钟摆，装满沙子的容器，沙子漏出来形成一条轨迹。这个视频中展示的并不完全像我当时看到的，但基本差不多。直到多年后我才知道它叫 谐波图形 harmonograph

（译者注：如果打不开视频这里我截了个图，我小时候从未见过，不知道你大伙有没有见过类似的东西，反正我是第一次见）

https://www.youtube.com/watch?v=uPbzhxYTioM

这个视频值得观看用于深入探讨利萨茹图形。 通过一个杠杆，来回摆动所花费的时间就称为周期，我们说过的 frequency 频率放到后面再讨论。在视频的4分12秒处，视频作者解释了这个钟摆装置为什么 可以拥有两个不同周期在它各自轴上。这就是为啥最后形成的图形看起来像利萨茹曲线- 因为它本来就是！ 如果各自轴周期相同，则它可能会创建一个圆形，椭圆形，螺旋。 技术上讲这些仍然也是利萨茹图形的一种，但我们感兴趣的是此篇中的谐波图。

这里是另一个版本使用笔和纸

源自 https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonograph

在这个例子中，笔不动，纸做周期摆动。但完成的是一样的事情。

这里有另一个视频与此类似的的装置，它则纸盒，线，和胶带做成！

https://www.youtube.com/watch?time_continue=65&v=S92mZcNIS8w&embeds_referring_euri=https%3A%2F%2Fwww.bit-101.com%2F&source_ve_path=MjM4NTE&feature=emb_title

这是纯粹的利萨茹曲线与机械的，基于摆动的谐波图形关键不同点。 钟摆慢慢失能，摆动经过的距离越来越小。直到停摆在绘制的中心点。

而这种类型的谐波图形可以产生一些有趣的图形，你甚至可以用两个钟摆制作出更复杂的。

下面是一个相关的例子：

此处，纸和笔都安装在钟摆顶部，配重在桌底摆动。所以它们自动能产生复杂的曲线。

这个视频就是一个非常魔幻的双钟摆，展示了它可以创建出惊人的图形。也演示了不少特征。

https://www.youtube.com/watch?v=_PdGcl1Ugl0&t=110s

模拟谐振

鉴于咱是一个聚焦于编程的网站，我就不解释如何建一个物理的谐振装置了。 但这些装置肯定遵循物理规则，并且物理规则的公式已被我们知晓。我们可以用这些公式直接创建虚拟的谐波图形。

我们先从单钟摆谐振版本入手，但开始之前我们先回顾一下我们的利萨茹公式:

x = A * sin(a * t + d)
y = B * sin(b * t)

A 和 B 是波在自各轴上的振幅， a 和 b 是频率。 d 用于让 x 和 y 脱离它们的相位。t 是时间参数。 最初我们说 t 会是 0 至 2 * PI 区别，但后面我们会看到它会无穷增长。

为了改动到模拟谐振， 我们要认识到各自轴它们由自己的相位， 而不是只有一个有相位，另一个...没相位？ 所以我们将 d 变成两个变量 p1 和 p2。

x = A * sin(a * t + p1)
y = B * sin(b * t + p2)

这依然会是一个利萨茹曲线， 但有了多了一点点复杂的定义。 为了完全模拟谐誫， 我们先要模拟失能或者说摸拟衰减。 为了更为精确，它会以额外的乘数的形式呈现：

e-d*t

... 或者说 “e 的底的 负 d 乘以 t 次方” 指数

在代码中表现为：

pow(e, -d * t)

pow 方法在任何数学库中都会有。

所以，这都是些啥？ 我们有了两个新的变量 e and d。 实现上 e 是个常量， 又名欧拉数， 约等于 2.71828。 我会让你自己去了解相关知识，但 e 确实广泛存在于各种物理公式中。当然也存在于钟摆衰减中。

到目前为止，你可能猜到 d 是那个衰减因子。 我们将 d 设为成一个相当小的值 比如 0.002 就挺不错的。 现在当 t 等于 0， 那么指数为 0， 指数函数计算结果会为 1.0 。

当 t 不断增长， 比如每个迭代增加 0.01， 指数会缓慢的负向增长。 当 t 为 0.01， 指数为 -0.00002, 指数函数结果将会衰减至 0.9999800002

100 次迭代后， t 会变为 1.0 衰减因子将会是 0.9980019987。 1000 次迭代后， 它将是 0.9801986733。 所以你可以观察到它减小的非常慢。 如果 d 增加， 那么衰减值会向0.0更快的进发。 下面展示的是应用在谐振公式内：

x = A * sin(a * t + p1) * pow(e, -d1 * t)
y = B * sin(b * t + p2) * pow(e, -d2 * t)

注意，我用了 d1 和 d2 这样你在各自轴就有它各自的振幅、频率、相位和衰减因子了。

为了让它归位，当 t 增长时上面的等式会慢慢接近 0.0， 意谓着 x 和 y 会越来越小接近 0.0， 模拟钟摆摆动至停止。 d1 和 d2 设的越大，速度就越快。

根据你自己使用的数学函数库， 也许它提供了简写。 自由需将 e 进行指数计算成为一个普遍的操作， 通常会提供一个内置函数一般叫 exp 。比如 Javascript ， 你可以直接用 Math.exp(-d1 * t), 这和用 Math.pow(Math.E, -d1 * t) 相同，但更简短，也许更加高效。

于是我们的伪代码可以写成这样：

x = A * sin(a * t + p1) * exp(-d1 * t)
y = B * sin(b * t + p2) * exp(-d2 * t)

函数

走起！我们的函数将会是下面这个样子：

function harmonograph(cx, cy, A, B, a, b, p1, p2, d1, d2, iter) {
  res = 0.01
  t = 0.0
  for (i = 0; t < iter; i += res) {
    x = cx + sin(a * t + p1) * A * exp(-d1 * t)
    y = cy + sin(b * t + p2) * B * exp(-d2 * t)
    lineTo(x, y)
    t += res
  }
  stroke()
}

现在有了一大堆参数。但你应该已经知道了它们中的大部分。我首先要介绍变量 iter. 之前我们循环一直是从 0 到 2 * PI 。 现在我们期望更多， 随着曲线的持续改变和运动范围的减小。 我们设一个非常大的值给 iter 用于模拟谐振长时间运行。在现实现世中单个谐波图绘制会花费5分钟以上。

下面是调用：

width = 800
height = 800
canvas(width, height)
 
A = 390
B = 390
a = 2.0
b = 2.01
p1 = 0.3
p2 = 1.7
d1 = 0.001
d2 = 0.001
iter = 100000
 
harmonograph(width / 2, height / 2, A, B, a, b, p1, p2, d1, d2, iter)

是的... 10 万次迭代。 也许会花个 1 到 2 秒，但你应该可以看到类似下面的结果：

（译者注：注意 这个 10 万次的迭代在我的 firefox 浏览器中感觉花了10多秒才画完，绘制过程浏览器会出现假死现象， webkit 内核的浏览器上完全显示不出来，所以需要减小 iter 值）

下面是尝试使用随机参数产生的结果：

我发现最好将 a 和 b 设为非常相近的值， 让它们变化量很小， 比如像最上面的例子我设它们为 2.0 和 2.01。 如果将值设为相关的简单比例值也很好，比如 7.5 和 2.5 它们的比值是 3 : 1。你再将其中的某个值改动一丢丢的量，它将会变的更有趣， 比如 7.5 和 2.501。 但如果是完全随机的值如 5.7 和 3.2 这会产生相当狂野的图形。

d 值决定钟摆衰减的快慢，所以较小的值将会在距离中心处产生更多的线条。 下面是将上面例子中自各衰减值设为 0.0003 后的结果：

这是衰减值设为 0.003 的结果：

钟摆衰退的很快且离中心点近的位置画了更多线条。

你可以好好尝试一下，比如给它加点颜色!

双钟摆

最后一个视频中绘制产生的图形非常有吸引力。为了实现它需要实现双钟摆模拟。你可以认为我们有一支笔给它 x，y 轴钟摆， 还有另一张纸也拥有 x, y 轴钟摆。 两者都单独运动，最终创造出复杂的曲线。你只需要计出各两个 x 轴的钟摆值加在一起给 x ，y 轴也同样做。

尽管概念上相对直白，但意味着我们需要传双倍的参数。每个 振幅，频率，相位，衰减 都需要传两遍。如果我们真这么傻白甜的做了，它可能会是像下面这样的代码实现那是相当难维护了。

// 别这么干 !!!
function harmonograph2(cx, cy, a1, a2, a3, a4, f1, f2, f3, f4, p1, p2, p3, p4, d1, d2, d3, d4, iter) {
  res = 0.01
  t = 0.0
  for (i = 0; t < iter; i += res) {
    x = cx + sin(f1 * t + p1) * a1 * exp(-d1 * t) + sin(f2 * t + p2) * a2 * exp(-d2 * t)
    y = cy + sin(f3 * t + p3) * a3 * exp(-d3 * t)+ sin(f4 * t + p4) * a4 * exp(-d4 * t)
    lineTo(x, y)
    t += res
  }
  stroke()
}

我试过这样做把我整懵了根本记不住哪个变量控制哪个轴的钟摆频率，参数太高不清。 更好的做法（可能是不是最好的）是将它们安装单轴（振幅，频率，相位，衰减）的钟摆需求封装成参数形式到一个对象内，然后传给函数。

我不知道你使用的平台语言用的是类或者结构或仅仅是纯粹的普通通用对象，所以你只需要知道我们有这样个拥有4个参数的对象用于传参：

pendulum: {
  amp,
  freq,
  phase,
  damp,
}

这里别担心语法，用你所在平台的语法实现这样一个对象即可。

现在我们可以创建四个对象，它们可能命名为 penX，penY，paperX，paperY。 像这样：

penX = pendulum(90.0, 7.5, 1.57, 0.0001)
penY = pendulum(90.0, 4.0, 0.0, 0.0001)
paperX = pendulum(280.0, 1.001, 1.57, 0.0001)
paperY = pendulum(280.0, 2.0, 0.0, 0.0001)

再次提醒，别关心语法。为每个钟摆周期你需要创建一个工厂函数或一个构造函数或者类似的一个包含振幅，频率，相位，衰减对象字面量。

现在我们可以将 harmonograph2 函数改成下面这样：

function harmonograph2(cx, cy, penX, penY, papX, papY, iter) {
  res = 0.01
  t = 0.0
  for (i = 0; t < iter; i += res) {
 
    x = cx
      + sin(penX.freq * t + penX.phase) * penX.amp * exp(-penX.damp * t)
      + sin(papX.freq * t + papX.phase) * papX.amp * exp(-papX.damp * t)
 
    y = cy 
      + sin(penY.freq * t + penY.phase) * penY.amp * exp(-penY.damp * t)
      + sin(papY.freq * t + papY.phase) * papY.amp * exp(-papY.damp * t)
 
    lineTo(x, y)
    t += res
  }
  stroke()
}

这里仍然有些重复的代码，但这是个好的开始。我尽可能保证它的可读性。你当然可以将它写的更简洁，但这常常是在复杂编程中有趣的部分先概念验证再转为优雅的代码实现。我并不想在这上面深入太多。你可以自己去优化。

penX = pendulum(90.0, 7.5, 1.57, 0.0001)
penY = pendulum(90.0, 4.0, 0.0, 0.0001)
paperX = pendulum(280.0, 1.001, 1.57, 0.0001)
paperY = pendulum(280.0, 2.0, 0.0, 0.0001)
 
harmonograph2(width/2, height/2, penX, penY, paperX, paperY, 100000)

如果你做的没错（且我上面的代码也没写错的）的话，你应该会得到以下这个图形：

很接近了是不是？参数值并没用啥魔法。为了让图形看起来很酷，我只是随意改动测试了一下参数值。下面是更多应用别的参数值后的结果：

penX = pendulum(50.0, 17.5, 1.57, 0.0001)
penY = pendulum(50.0, 11.0, 0.5, 0.0001)
paperX = pendulum(280.0, 0.50, 1.57, 0.0007)
paperY = pendulum(280.0, 1.50, 0.0, 0.0007)

你可以多式式，它将产生无穷无尽的图形。

动画

到目前为止我们实现的都是静态图，是时候实现动画了。你可以动画实现绘制过程就像真实世界绘制的过程一样。我觉得不太有意思 ，就直接跳过这一步了。

对其它属性进行动画有趣的多。相位这个选项就不错。这里就是以相位值从 0 到 2 * PI 动态变动的一个例子。它看起来几乎成三维的了。

(译者注：原 gif 图太大42.6M ，我压缩了下 ^_! )

还有下面，一些衰减值在 0.001 到 0.0001 来回变动。

(译者注：gif 图太大 33.8 M ，我压缩了下 ^_! )

总结

这就是谐波图了。试着用程序实现它吧。你可以玩一整天。你甚至可以买些设备实现一个绘制谐波图的设备。我很期待看到你这么做。

下一章我们将聚集到另一个绘制曲线的物理设备并把它模拟出来。

本章 Javascript 源码 https://github.com/willian12345/coding-curves/tree/main/examples/ch05

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