阶 原根 离散对数

阶

定义

\(a\mod p\) 的阶是 \(a^e\equiv1\pmod p\) 的最小指数 \(e\)

符号语言: \(\delta_p(a)\) 代表 \(a\) 在 \(\mod p\) 的意义下的最小指数 \(e\) 使\(a^e\equiv1\pmod p\)

根据这个表格，我们可以举出一些例子

原根

定义

满足上述则 \(a\) 是 \(\mod m\) 意义下的原根

最小原根 \(g\)

我们枚举，如果 \(gcd(now,n)\ne1\) 那一定不是原根

找出一个可能是原根的数，我们从 \([1-\varphi(n))\) 枚举每个 \(k\) 判断 \(now^k\equiv1\pmod m\) 是否成立

如果全都不同余 \(1\) ，那么就找到了 \(g\) ，可以容易的找出其他原根：

    while(++g){
        int now=1,bj=0;
        if(gcd(g,n)!=1) continue;
        for(int j=1;j<phi[n];j++){
            now=now*g%n;
            if(now==1){
                bj=1;
                break;
            }
        }
        if(bj==1) continue;
        else if(bj==0){
            break;
        }
    }

找出其他原根

我们认为 \(g\) 是最小的原根

寻找方法：

我们考虑当 \(gcd(k,\varphi(m))=g\) 的时候 \({g^{k}}^{\frac {\varphi(m)} {k}}\) 会同余 \(1\)

代码

    int now=g;
    ans[++cnt]=g;
    for(int j=2;j<phi[n];j++){
        now=now*g%n;
        if(gcd(j,phi[n])!=1) continue;
        ans[++cnt]=now;
    }

有无原根

这些数有原根

\(结论：2,4,p^k,2×p^k，其中 p 为奇素数，k 为正整数。\)

证明详见

原根

原根数量

我们在前面可以知道，当求出一个g(最小原根)，

有多少个 \(k\) 满足:\(k\in[1,\varphi(m))~~~gcd(k,\varphi(m))=1\)

其实就是 \(\varphi(\varphi(m))\)

总代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int phi[N],prim[N],v[N],vis[N],tot=0,ans[N],cnt=0;
int t,n,d;
void pre(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=N-1;i++){
        if(!v[i]){
            prim[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&prim[j]*i<=N-10;j++){
            v[i*prim[j]]=1;
            if(i%prim[j]==0){
                phi[i*prim[j]]=phi[i]*prim[j];
                break;    
            }else{
                phi[i*prim[j]]=phi[i]*phi[prim[j]];
            } 
        }
    }
    vis[2]=1;
    vis[4]=1;
    for(int i=2;i<=tot;i++){
        for(long long j=1;j<=N;j=j*prim[i]){
            if(j>N-10){
                break;    
            }
            vis[j]=1;
            if(2*j<=N-1) vis[2*j]=1;
        }
    }
}//预处理phi和prime
int gcd(int x,int y){
    if(y==0) return x;
    return gcd(y,x%y);
}
void input(){
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1;i<=t;i++){
        cnt=0;
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        scanf("%d%d",&n,&d);
        if(!vis[n]){
            printf("0\n\n");
            continue;    
        }
        int g=0;
        while(++g){
            int now=1,bj=0;
            if(gcd(g,n)!=1) continue;
            for(int j=1;j<phi[n];j++){
                now=now*g%n;
                if(now==1){
                    bj=1;
                    break;
                }
            }
            if(bj==1) continue;
            else if(bj==0){
                break;
            }
        }
        int now=g;
        ans[++cnt]=g;
        for(int j=2;j<phi[n];j++){
            now=now*g%n;
            if(gcd(j,phi[n])!=1) continue;
            ans[++cnt]=now;
        }
        sort(ans+1,ans+1+cnt);
        printf("%d\n",phi[phi[n]]);
        for(int j=1;j<=phi[phi[n]]/d;j++){
            printf("%d ",ans[j*d]);
        }
        printf("\n");

    }
}
int main(){
//     freopen("1.txt","w",stdout);
    pre();
    input();

    return 0;
}

离散对数

就是对数的定义，只不过在模意义下

定义

对于正整数 \(p\) , \(p\) 的原根 \(g\) ，整数 \(b\)，使得 \(g^x\equiv b \pmod {p}\) 则称 \(x\) 为 \(b\) 的离散对数，记作

\(\log_g(b)\)

性质

1.当 \(p\) 为质数时，\(∀i ∈ [0, p − 1]\) 在 \([0, p − 1]\) 范围内都有唯一对应的离散对数。

2.当 \(p\) 为奇质数的幂时，\(p\) 的倍数不存在离散对数，通常需要特殊处理。\(2p^ k\) 也类似。

利用离散对数可以将模 \(p\) 意义下的 \(xy\) 转化为 $ g^{\log_g
(x)+\log_g
(y)}$

BSGS

题目描述：

已知 \(a,b,p\)，求模 \(p\) 意义下 \(x=\log_a(b)\) ，保证 \(p\) 为质数 。

根据性质1，在 \(x\in[1,m]\implies b\in[1,m]\)

我们枚举 \(x\) ，可以得到答案，但时间复杂度不能接受

我们考虑更优秀的枚举：

\(设x=A\times\sqrt m-B(A,B\in[1,{\sqrt m}])\)

可以发现现在依旧 \(x\in[1,m]\)

转换一下

发现现在只有两个未知数A,B我们可以先枚举一次B预处理

用map记录所有 \(b \times a^B~ mod~m\)

再枚举A算出 \(a^{A*\sqrt m}~mod~m\) 在map找找有没有对应的