1、复杂度分析

复杂度分析本身是非常理论化的一个内容，在计算机科学中，有一个专门的学科叫做——计算复杂性理论。

很多童鞋看过《算法导论》，这本书的内容很多很强调算法导论。

但是实际上，对于普通程序员来说，不需要过度强调理论化的内容。因为工作中更多面对的是实际的
软件工程，工程化的工作不需要面对太多理论性的东东。

2、复杂度分析

复杂度分析的作用：是为了表示算法的性能。

对于同样一个任务，可能有多个实现方式，即多个算法。这些不同的算法，它们的时间性能是否有差异呢？

我们虽然可以用一个测试用例，或者一组测试用例实际比较性能差异。
但是，这样的比较结果有局限性。

比如，需要保证运行不同算法的计算机硬件设备的性能一致，甚至深入的说，他们的OS当时的状态都需要是一致的。
这本身很难保证，而且测试结果也与我们的测试用例设计和用例输入相关。

而且，最重要的是这样比较是事后的。

如何突破局限性，如何事前比较呢？
种种这样的需求，都需要我们有一套工具，从数学的层面，用抽象的方式，判断一个算法的性能是怎样的？

为了回应这样的需求，就产生了复杂度分析这样一个概念。

3、复杂度分析和算法性能的关系

复杂度分析，如何表示算法的性能呢？

需要注意的是，算法复杂度分析通常考虑最坏的情况。

这样的思想非常普遍，比如上班时，为了不迟到，考虑最长需要多少时间，甚至将堵车的时间都考虑进去。

即，复杂度分析，表示的是算法运行的上界。

对于我们的线性查找法代码，我们来进行一个复杂度分析吧，代码再一次贴出来：

public static <E> int search(E [] data,E target){
    for (int i = 0; i < data.length; i++)
        if (data[i].equals(target))
            return i;
    return -1;
}

具体的分析过程如下：
n = data.length
T 表示时间
T和n的关系到底是怎样的？
T = n?n个元素全部扫描了一遍？ 就是n？
T = 2n？if里有比较、有返回结果这2步 就是2n？
T = 3n？ 其实if中的data[i]，要在数组data中找到i这个元素，是一步寻址，也需要算作一个子步骤。 3n了？
T = 4n？for循环中也包含每次要做的事情，i<data.length,也是一个判断操作，所以4n？

T = 5n？for循环中还有一个i++的操作，所以5n?
T = 5n+2？ int i =0;加1次，return -1；加1次，所T=5n+2？
……

其实，再继续分析下去还可以分析出很多可能，就不继续分析了，为什么不继续了呢？

因为真的分析的话，拿出for循环对应的汇编代码，看看这个循环执行了多少指令？

可是拿出汇编代码也不够，因为汇编代码对应着机器指令，而机器指令不仅仅是代码有多少行而已，
还要追溯到运行代码的CPU架构上，有些复杂指令在有些CPU上，就一个指令，但在另外一些CPU上，可能就是多个指令。

对于上层应用软件开发者来说，分析清楚每一行高级语言代码对应着多少机器指令，是一件非常困难，甚至说不可能的事情，其实也没有必要。

而且即便T=5n+2，那这个等式的时间单位是多少呢？是毫秒ms嘛？肯定不对应时间，对应的是指令数，但是一条指令在cpu中执行多久我们知道嘛？

我们不知道。

所以，这些其实我们都不需要考虑，我们需要进行一个化简。这也是计算机科学家们定义复杂度分析这个概念时做过的事儿，没错，他们做了化简。

我们不需要知道执行这样一个循环，对这n个元素操作，每一次循环需要执行多少个指令；
我们只需要知道，整个算法和这个data数组的大小，和这个数据规模n成一个正比的关系即可。

4、O(n)

这个就记作O(n)，表示的就是运行时间和数据规模n之间的一个正比关系。
进一步看，如果：
T = c1*n + c2
这个算法我们就可以记作O(n)，即常数c1、c2都被我们忽略掉了，即算法复杂度的世界中，常数不重要。

5、复杂度描述的是什么？

复杂度描述的是：随着数据规模的增大，算法性能的变化趋势。

假设有2个算法，分别是T1和T2，它们的详细情况如下：

T1 = 10000n
T2 = 2n²
第一个算法 O(n)级别的算法，第二个算法O(n²)级别的算法。
从复杂度理论的角度来看，第一个算法优于第二个算法。

**因为总是会存在某一临界点n0，当n>n0,T1<T2。
可以计算出，这里的临界点n0为5000。
一旦数据规模大于5000，算法一的性能优势就体现出来了，而且n越大，体现的越明显。

所以O(n)描述的就是随着n的变化，算法的性能的变化趋势，

而不是说n取某个值时，算法的性能。

实际上，如果测试数据小于5000，比如为100时，第二个算法O(n²)反而优于第一个算法O(n)；

但是评价算法性能，我们要看n逐渐上涨的情况，甚至看n无穷大的情况。