理

在我之前的理解当中，如果想要判断某个元素在不在集合当中，经典的结构应该是平衡树和hash table。但是无论是哪一种方法，都逃不开一点，都需要存储原值。

比如在爬虫场景当中，我们需要记录下之前爬过的网站。我们要将之前的网址全部都存储在容器里，然后在遇到新网站的时候去判断是否已经爬过了。在这个问题当中，我们并不关心之前爬过的网站有哪些，我们只关心现在的网站有没有在之前出现过。也就是说之前出现过什么不重要，现在的有没有出现过才重要。

我们利用平衡树或者是Trie或者是AC自动机等数据结构和算法可以实现高效的查找，但是都离不开存储下所有的字符串。想象一下，一个网址大概上百个字符，大约0.1KB，如果是一亿个网址，就需要10GB了，如果是一百亿一千亿呢？显然这么大的规模就很麻烦了，今天要介绍的布隆过滤器就可以解决这个问题，而且不需要存储下原值，这是一个非常巧妙的做法，让我们一起来看下它的原理。

布隆过滤器本身的结构非常简单，就是一个一维的bool型的数组，也就是说每一位只有0或者1，是一个bit，这个数组的长度是m。对于每个新增的项，我们使用K种不同的hash算法对它计算hash值。所以我们可以得到K个hash值，我们用hash值对m取模，假设是x。刚开始的时候数组内全部都是0，我们把所有x对应的位置标记为1。

举个例子，假设我们一开始m是10，K是3。我们遇到第一个插入的值是”线性代数“，我们对它hash之后得到1，3，5，那么我们将对应的位置标记成1.

然后我们又遇到了一个值是”高等数学“，hash之后得到1，8，9，我们还是将对应位置赋值成1，会发现1这个位置对应的值已经是1了，我们忽略就好。

如果这个时候我们想要判断”概率统计”有没有出现过，怎么办？很简单，我们对“概率统计”再计算hash值。假设得到1，4，5，我们去遍历一下对应的位置，发现4这个位置是0，说明之前没有添加过“概率统计”，显然“概率统计”没有出现过。

但是如果“概率统计”hash之后的结果是1，3，8呢？我们判断它出现过就错了，答案很简单，因为虽然1，3，8这个hash组合之前没有出现过，但是对应的位置都在其他元素中出现过了，这样就出现误差了。所以我们可以知道，布隆过滤器对于不存在的判断是准确的，但是对于存在的判断是有可能有错误的。

代码

布隆过滤器的原理很简单，明白了之后，我们很容易写出代码：

# 插入元素
def BloomFilter(filter, value, hash_functions):
    m = len(filter)
    for func in hash_functions:
        idx = func(value) % m
        filter[idx] = True
    return filter
    
# 判断元素
def MemberInFilter(filter, value, hash_functions):
    m = len(filter)
    for func in hash_functions:
        idx = func(value) % m
        if not filter[idx]:
            return False
    return True

错误率计算

之前的例子当中应该展示得很明白了，布隆过滤器虽然好用，但是会存在bad case，也就是判断错误的情况。那么，这种错误判断发生的概率有多大呢？

这个概率的计算也不难：由于数组长度是mm，所以插入一个bit它被置为1的概率是1m1m，插入一个元素需要插入k个hash值，所以插入一个元素，某一位没有被置为1的概率是(1−1m)k(1−1m)k。插入n个元素之后，某一位依旧为0的概率是(1−1m)nk(1−1m)nk，它变成1的概率是1−(1−1m)nk1−(1−1m)nk。

如果在某次判断当中，有一个没有出现过的元素被认为已经在集合当中了，那么也就是说它hash得到的位置均已经在之前被置为1了

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