术是数学中最古老的部分之一。在最初的算术、几何之后，数学发展出了更多的分支内容：代数、分析、拓扑、概率……本节的讲述涉及其中代数、分析的初等部分的内容。其中会讲到的一个问题是数学构建的虚拟性质。

算术之后，数学的发展首先是体现在“数”概念的扩展上。

其次，数学的发展也体现在计算类型的扩展，从四则运算，到平方、开方、指数、对数的运算，微分、积分的运算……不同类型的数与不同类型的计算组成不同的计算系统，数学就是研究各种类型计算系统的性质与规律，并进一步抽象得到更一般的结构与关系。
 

就像在算术里一样，符号的恰当选择，表示上的进步，对数学各分支的发展也至关重要。字母符号的采用，使数学从算术进入到代数。早期的代数都是一个一个具体的问题，问题的求解也是各自独立的方法，问题描述与解题过程的说明都是文字的叙述，这时的代数也称为修辞代数。古希腊亚历山大港的数学家丢番图（Diophantus，246-330）开始自觉地使用从文字缩写或简写得到的符号来代表数，并使用字母来代表未知数，他开创的代数也称为缩写代数。现代意义上的符号代数，以字母来代表已知数、未知数，应用特定的运算符号以及等号的代数是文艺复兴时期产生的。早期重要的倡导者是法国数学家韦达（法语François Viète，1540－1603），他被称为现代符号代数之父。符号上的变化带来研究上的变化，以前一个一个的具体问题可以归为不同的方程，可以针对每类方程寻求统一的解题方法，运算规律可以以一般形式表达。历史上莱布尼茨与牛顿几乎同时发明了微积分，相较牛顿微积分，莱布尼茨对微积分符号的设计与选用有着更多考虑。他引入了微分符号dx、dy，将字母S（Summa）拉长得到“∫”作为积分符号。从效果来说，莱布尼茨的符号系统让微积分的概念与运算更加清晰，今天所用的微积分符号就是源自莱布尼茨的工作。莱布尼茨说到：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动”。
 

数学各分支早期阶段的发展，多是由实际问题推动。为测量土地发展出了最初的几何学；为进行贸易、分配财产发展出了算术；为了赢得赌博发展出了概率论……数学最初以实用的工具出现。数学进一步的发展则表现出虚拟的性质。比如数系的扩展，除了实践中会遇到不同类型数的问题外，更多是为了让算术运算、代数运算及其他的运算能够闭合，使计算规则具有普遍性而不断构造出的。为了减法运算始终可以施行构造了负数；为了除法运算始终可以施行构造了分数；为了开方运算始终可以施行构造了无理数、虚数，其中虚数是求负数的平方根时引入的……我们从一些实际问题里建立了一元一次方程：ax+b=0，对此类方程的求解进行了研究。之后不一定需要实际问题的输入，也不用天才的大脑，从一元一次方程的形式我们容易想到一元二次方程、一元三次方程、二元一次方程、二元二次方程等，然后我们可以去研究不同类型方程的解法。显然，一元一次方程简单清晰的表示，是后续扩展的良好基础。

在上一节我们把算术看作实物计数计算迁移到符号上形成的结果，其中的关键是实物计数的动作，以及由此衍生出的动作系统。从自然数扩展到的实数，增加了一类动作系统——进行测量的动作系统。操作代表量度单位的实物来比较被测量的实物，用于形成对连续量的表征。测量的心理想象是对对象的分割，这种分割可以一直进行下去。如果是测量某一实物的长度，实际的物质可找到更小的构成：分子、原子、质子与中子、电子、更基本的粒子……它们组成的实物并不一定呈均质可无限划分的情形，这里分割动作只是心智上有用的假设，或者说，人创造的尺度。目前我们发展出的此类动作系统就只有这二类，可以合称为计量。

分割的心理想象涉及“无限”的问题，这也是数学里的一个核心问题。无限的问题在算术里就已出现。现实中我们能遇到的一个自然数只能是特定大小的数，位置记数法规则可表示任意大的自然数，这意味着它总能生成下一个更大的数，或者能生成无限多的自然数。符号的机制与心理想象上都没有什么阻止我们无限操作下去。这次是最早在古希腊所提出的“阿喀琉斯永远追不上乌龟”悖论所提示的问题。测量的分割动作可以无限地进行下去，每一步都得到一个实数，无限分割下去的结果就是得到致密的实数，但存在那些实数则是说不清的，像超越数这样的实数，甚至是不能用构造的方法给出表示。实数是微积分的基础，在微积分的计算中，计算过程也是同样的性质，计算可以一直进行，不是操作到某一步就得到结果，也不是没有结果，结果作为一种极限存在，可以在无尽的操作中无限逼近这一结果，但不会真正达到这一结果。分析上，我们采用大于、小于这些概念描述逼近极限的过程，这逻辑上没有问题，但这里存在的非构造性一直是理解上的一个困难。

随着数学的发展，基于视觉符号的数学本身与计算工具的关系也发生了改变。各种新型的数与计算首先是在数学里发展起来，如对数、指数的计算，三角函数的计算，微分、积分的计算……就算有纸笔媒介系统的辅助，这些计算对人而言也是困难、枯燥的。发明计算工具来快速、可靠地完成各类型的计算，是各个时代科研与生产上的需要。各种计算工具也应运而生：算盘、计算尺、帕斯卡加法器、莱布尼茨乘法器、巴贝奇的差分机……从木制的工具，到机械的工具，再到机电的工具。这些都是各时代心灵手巧的天才们的创造。

包含虚拟性构造的数学，最终可得到实际应用，这是一个不可思议的地方。同样的数学内容可为不同的领域规律或事实提供描述，并通过计算解释各种现象或解决各类问题。最先出现于牛顿物理学里的微积分，在经济学领域也被用来进行边际与弹性的分析，求解各种经济问题中最佳效益值。这符合前面对符号方式的描述，或者说可将数学视为一门语言。数学的广泛应用，要求数学本身是可靠的。当数学已发展为枝繁叶茂的大树，其基础的可信与内部的无矛盾已不是那么显而易见。对此所进行的研究是推动数学发展的另一动力。由希尔伯特倡导，人们尝试将数学各分支进行公理化、形式化的整理，并采用集合论、一阶谓词逻辑等作为通用的描述形式，以此保障各数学分支的可靠性。其成果包括了前述的皮亚诺算术公理系统。不幸的是集合论中发现了悖论，引发了第三次数学危机，危机激发更多的研究，带来现代数学中那些基础且抽象的分支，特别重要一个成果是哥德尔不完备定理，这我们后面还会讲到。