回文串

回文串是正着读和反着读都一样的字符串。

例如： abcba，noon。

manacher 算法就是用来求解一个字符串中最大回文串的长度。

算法过程

1.预处理
由于回文串分为偶回文串和奇回文串，这导致一个回文串的对称中心可能是一个也可能是两个，不方便处理。

abcba 的对称中心是c
noon 的对称中心是oo

所以我们可以在初始字符串的每个字符之间插入特殊字符(只要该字符不出现在原字符串即可)

noon 插入\(\$\)，变为\(\$n\$o\$o\$n\$\)
插入之后回文性质没有改变，并且所有的回文串都变成了奇回文串，方便我们进行后续操作。

2.manacher 算法主体

定义数组p[i]表示以第i个字符为对称中心的最长回文串的半径，那么p[i]-1就是以第i个字符为对称中心的回文串长度(因为要去除插入的字符$)
用mx表示目前找到的回文串最右端的位置，该回文串的中心用mid表示

看上面这张图，我们要求p[i]，j为i关于mid的对称点，而且我们已知p[j]，那么就有
p[i]=min(mx-i,p[j])
这是因为在mx左边的部分可以用p[j]确定p[i]的长度，因为他们是关于mid对称的也就是完全一样的。
但是右边的部分不能保证，要用暴力法判断。
时间复杂度O(n)
详细请看代码
例题P3805 【模板】manacher 算法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1.1e7+10;
char a[2*N],s[2*N];
int p[2*N];
int n;
int cnt=0;
void change(){
    s[cnt++]='^';//这个东西防止越界
    s[cnt++]='$';
    for(int i=0;i<n;++i)s[cnt++]=a[i],s[cnt++]='$';
}
int manacher(){
    int mx=0,mid=0,ans=0;
    for(int i=0;i<cnt;++i){
        if(i<mx)p[i]=min(mx-i,p[mid*2-i]);
        else p[i]=1;
        while(s[i+p[i]]==s[i-p[i]])p[i]++;//暴力判断右边的部分
        if(mx<i+p[i])mx=i+p[i],mid=i;//更新右边界
        //ans=max(ans,p[i]-1);
        if(ans<p[i]-1)ans=p[i]-1;//更新答案
    }
    return ans;

}
int main(){
    scanf("%s",a);
    n=strlen(a);
    change();
    //printf("%s\n",s);
    printf("%d",manacher());
    return 0;
}

参考