题意

有一个包含\(N\)个元素的数组\(A\).

有\(2^N - 1\)种方式从中选择至少一项。问其中有多少满足平均值为整数。

题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc262/tasks/abc262_d

数据范围

\(1 \leq N \leq 100\)

思路

如果选中了\(x_1,x_2,\dots, x_i\)，那么它们的平均值为\(\frac{x_1 + \dots + x_i}{i}\)。这个数值为整数，当且仅当选中项之和为\(i\)的倍数。

在这里，我们考虑对\(i=1,2,\dots, N\)分别进行DP。

令\(f(j,k,l)\)表示从前\(j\)个元素中选\(k\)项，并且模\(i\)余\(l\)的方案数。转移过程显然。

最终答案为\(\sum\limits_{i=1}^N f(N,i,0)\)

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 110, mod = 998244353;

int n;
ll a[N];
ll f[N][N][N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%lld", &a[i]);
    ll res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        memset(f, 0, sizeof f);
        f[0][0][0] = 1;
        for(int j = 0; j < n; j ++) {
            for(int k = 0; k <= i; k ++) {
                for(int l = 0; l < i; l ++) {
                    f[j + 1][k][l] = (f[j + 1][k][l] + f[j][k][l]) % mod;
                    ll t = (l + a[j + 1]) % i;
                    if(k != i) f[j + 1][k + 1][t] = (f[j + 1][k + 1][t] + f[j][k][l]) % mod;
                }
            }
        }
        res = (res + f[n][i][0]) % mod;
    }
    printf("%lld\n", res);
    return 0;
}