\(P1641 [SCOI2010]\)生成字符串

前置知识

    组合数、坐标轴。

题目描述

    以\(n\)个\(1\)和\(m\)个\(0\)组成字符串，求出满足条件「在任意的前\(k\)个字符中，\(1\)的个数不能少于\(0\)的个数」的字符串数量。

解题思路

    考虑到题目要求的条件「\(1\)的个数不少于\(0\)的个数」可以转化为坐标轴内点的横纵坐标。
    举例说明：

    第一步：建系。将\(x\)轴设为\(m + n\)，y轴设为\(m - n\)，方案数则可以表示为从点\((0,0)\)移动到点\((n + m,n - m)\)的折线，每增加一个\(1\)或\(0\)代表当前点向\(x\)轴正半轴移动一单位长度，选择\(1\)代表向y轴正半轴移动一单位长度，选择\(0\)代表向\(y\)轴负半轴移动一单位长度。易得方案总数即为\(C(n+m,n)\)。
     因为\(1\)的个数始终不少于\(0\)的个数，所以折线需保持在第一象限。

    第二步：排除不合法情况：\(1\)的个数少于\(0\)的个数，即折线在第四象限。
    我们考虑将在到达\(y = -1\)以前的部分全部沿\(y = -1\)的直线作对称，如下图所示。

    折线的新起点变为\((0,-2)\)，总次数还是\(n + m\)，但上升次数比下降次数多一次，方案数为\(C(n+m,m-1)\)。

    第三步：综合前两步的推导，得出式子：\(Ans = C(n + m,n) - C(n + m,m - 1)\)。

注意事项

    \(1\).注意取模。
    \(2\).数据范围过大，先预处理逆元，再套用公式求出组合数。

参考程序

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define il inline
#define ll long long
#define MAXN 1000005
#define MAXM 1000005
#define MOD  20100403
#define rep(i,a,b)  for(re int i = a;i <= b;i ++)
#define drep(i,a,b) for(re int i = a;i >= b;i --)
#define Rep(i,a,b)  for(re int i = a;i < b;i ++)
#define Drep(i,a,b) for(re int i = a;i > b;i --)
#define fin(a)  freopen(#a".in","r",stdin)
#define fout(a) freopen(#a".out","w",stdout)

using namespace std;

il ll read(){
	ll x = 0;
	char ch = 0;
	while(!isdigit(ch)){
		ch = getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
		ch = getchar();
	}
	return x;
}

il void write(ll x){
	if(x > 9){
		write(x / 10);
	}
	putchar(x % 10 + '0');
}

il ll Pow(ll a,ll b){
	ll ans = 1;
	while(b){
		if(b & 1)
			ans = ans * a % MOD;
		a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
	}
	return ans % MOD;
}

il ll C(ll n,ll m){
	if(m > n)
		return 0;
	if(m > n - m)
		m = n - m;
	
	ll s1 = 1,s2 = 1;
	Rep(i,0,m){
		s1 = s1 * (n - i) % MOD;
		s2 = s2 * (i + 1) % MOD;
	}
	return s1 * Pow(s2,MOD - 2) % MOD;
}

il ll Lucas(int n,int m){
	if(!m)
		return 1;
	return C(n % MOD,m % MOD) * Lucas(n / MOD,m / MOD) % MOD;
}



int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    fin(1641);
    fout(1641);
    #endif
    
	int n = read(),m = read();
	write((Lucas(n + m,n) % MOD - Lucas(n + m,m - 1) % MOD + MOD) % MOD);
	
	return 0;
}