因为他我学了龟速乘

Millar-robin 米勒罗宾

这个小东西是用来素数判定的，且听我细细道来。

前置知识

• 肥妈小定理 又名费马小定理 ：
  当一个数 \(x\) 不是一个质数 \(p\) 的倍数时有：

  \[x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \]

  证明：

  对于一个序列

  \[b = \left \{1,2,3....p-1\right \} \]

  令

  \[a = \left \{ x,2x,3x...(p-1)x \right \} \]

  那么 \(a\) 序列对 \(p\) 取模后恰好为 \(p-1\) 的一个排列。

  证明：
  假设存在 \(s,t\) 使得 \(sx \equiv tx \pmod p\)
  那么 \((s-t)x \equiv 0 \pmod p\)
  又有 \(x \ne 0 \pmod p \wedge s-t < p\)
  所以 \(s-t=0\)
  所以不存在两个位置模数相同，又有互质，所以模数恰好是一个 \(p-1\) 的排列。

  （分割线）

  所以有

  \[(p-1)! \equiv (p-1)! \times x^{p-1} \pmod p \]

  那么根据

  \[\gcd((p-1)!,p) = 1 \]

  所以有

  \[x^{p-1} \equiv 1 \pmod p \]

• 二次探测定理
  对于质数 \(p\) 和一个 \(x \in \left [1,p-1 \right ]\)

  \[x^2 \equiv 1 \pmod p \]

  则有

  \[x_{1} = 1,x_{2} = {p-1} \]

  证明

  有

  \[x^2 - 1 \equiv 0 \pmod p \]
  \[(x+1)(x-1) \equiv 0 \pmod p \]

  故当

  \[x+1 \equiv 0 \pmod p \]

  有

  \[x = p - 1 \]

  当

  \[x - 1 \equiv 0 \pmod p \]

  有

  \[x = 1 \]

进入正题

如何检查 \(n\) 是否是质数？

首先忽略 \(2\) 的情况，那么 \(n\) 必定为奇，那么 \(n-1\) 必定为偶。

令 \(n-1 = 2^k \times m\)

米勒罗宾是通过费马小定理来测试 \(n\) 是否为素数的。

由费马小定理有这样的式子，若 $n $ 为质数那么 \(x^{n-1} \equiv 1 \pmod n\)，但是这只是 \(n\) 是素数的必要条件，所以这是一个 \(\mathbf{测试}\) 算法。

考虑我们怎么能得到这样的式子，接下来默认 \(y \in [1,n-1]\) ，因为用到了二次探测。

若 \(y^{n-1} \equiv y^{2^km} \equiv1 \pmod n\)

那么 \(y^{2^{k-1}m} = 1\) 或 \(n-1\)

若 \(y^{2^{k-1}m} = 1\) 则 \(y^{2^{k-2}m} = 1\) 或 \(n-1\)

如此反复直到最后 \(y^m = 1\) 或 \(y^m = n - 1\)。

若 \(n\) 是质数，那么 \(y^m = 1\) 或者 存在 \(g\in[0,k-1]\) 使得 \(y^{2^gm} = n - 1\) 符合该条件则通过测试

这个测试，合数不一定通不过，素数肯定通过，所以通过的不一定是素数，通不过的一定是合数 我在说什么。

我们选用素数来测试 \(n\)，算法竞赛中选 \(30\) 内的就足以让 unsigned long long 范围内的数合法。选的数越多，这个算法越准。至于更深的探究，我也不会了。

例题 sp288。

code :

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define Rep(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define rrep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &x){
	x=0;char ch=getchar();bool f=0;
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	if(f)x=-x;
}
template <typename T,typename ...Args>
inline void read(T &tmp,Args &...tmps){read(tmp);read(tmps...);}
typedef long long ll;
ll pr[10] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
inline void add(ll &x,ll y,ll z){
	x += y;
	if(x >= z)x -= z;
}
ll gui_mul(ll x,ll y,ll z){
	ll ans = 0;
	while(y){
		if(y & 1)ans = (ans + x) % z;
		x = (x + x) % z;
		y >>= 1;
	}
	return ans;
}
ll ksm(ll x,ll y,ll z){
	ll res = 1;
	while(y){
		if(y & 1)res = gui_mul(res,x,z);
		x = gui_mul(x,x,z);
		y >>= 1;
	}
	return res;
}
bool millar_rabin(ll p){
	if(p < 2)return 0;
	if(p != 2 && p % 2 == 0)return 0;
	ll s = p - 1;
	while(!((s) & 1))s >>= 1;
	rep(i,0,9){
		if(p == pr[i])return 1;
		ll t = s,m = ksm(pr[i],s,p);
		while(t != (p - 1) && m != 1 && m != p - 1){
			m = gui_mul(m,m,p);
			t <<= 1;
		}
		if(m != p - 1 && !(t & 1))return 0;
	}
	return 1;
}
signed main(){
	int t;
	read(t);
	while(t--){
		ll x;
		read(x);
		puts(millar_rabin(x) ? "YES" : "NO");
	}
}