题目链接
题目描述
金明今天很开心,家里购置的新房就要领钥匙了,新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是,妈妈昨天对他说:“你的房间需要购买哪些物品,怎么布置,你说了算,只要不超过N元钱就行”。今天一早金明就开始做预算,但是他想买的东西太多了,肯定会超过妈妈限定的N元。于是,他把每件物品规定了一个重要度,分为5等:用整数1~5表示,第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格(都是整数元)。他希望在不超过N元(可以等于N元)的前提下,使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
设第j件物品的价格为v[j],重要度为w[j],共选中了k件物品,编号依次为j1,j2,……,jk,则所求的总和为:
v[j1]*w[j1]+v[j2]*w[j2]+ …+v[jk]*w[jk]。(其中*为乘号)
请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。
输入描述
输入第1行,为两个正整数,用一个空格隔开:N m(其中N表示总钱数,m为希望购买物品的个数。)
从第2行到第m+1行,第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据,每行有2个非负整数v p(其中v表示该物品的价格,p表示该物品的重要度)
输出描述
输出一个正整数,为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值(<100000000)
示例1
输入
1000 5 800 2 400 5 300 5 400 3 200 2
输出
3900
备注
N < 30000,m < 25,v ≤ 10000, 1 ≤ p ≤ 5
知识点:背包dp。
传统的背包dp。设 \(dp[i][j]\) 为考虑到第 \(i\) 个物品,用了 \(j\) 的体积(题意如果是至多,那这里就是至多,区别在于至多可以初始化 \(0\) ,而严格 \(j\) 是需要初始化负无穷)。显然有转移方程:
\[dp[i][j] = \max (dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]) \]滚动数组压缩一下,注意要倒序遍历防止同一件物品复用,因为这是01背包。
时间复杂度 \(O(nm)\)
空间复杂度 \(O(n)\)
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int dp[30007], v[30], w[30]; int main() { std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0); int n, m; cin >> n >> m; for (int i = 1;i <= m;i++) cin >> v[i] >> w[i]; for (int i = 1;i <= m;i++) for (int j = n;j >= v[i];j--) dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + v[i] * w[i]); cout << dp[n] << '\n'; return 0; }