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能量石

本文主要是介绍能量石,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!

能量石

岩石怪物杜达生活在魔法森林中,他在午餐时收集了 $N$ 块能量石准备开吃。

由于他的嘴很小,所以一次只能吃一块能量石。

能量石很硬,吃完需要花不少时间。

吃完第 $i$ 块能量石需要花费的时间为 $S_i$ 秒。

杜达靠吃能量石来获取能量。

不同的能量石包含的能量可能不同。

此外,能量石会随着时间流逝逐渐失去能量。

第 $i$ 块能量石最初包含 $E_i$ 单位的能量,并且每秒将失去 $L_i$ 单位的能量。

当杜达开始吃一块能量石时,他就会立即获得该能量石所含的全部能量(无论实际吃完该石头需要多少时间)。

能量石中包含的能量最多降低至 $0$。

请问杜达通过吃能量石可以获得的最大能量是多少?

输入格式

第一行包含整数 $T$,表示共有 $T$ 组测试数据。

每组数据第一行包含整数 $N$,表示能量石的数量。

接下来 $N$ 行,每行包含三个整数 $S_i,E_i,L_i$。

输出格式

每组数据输出一个结果,每个结果占一行。

结果表示为 Case #x: y ,其中 $x$ 是组别编号(从 $1$ 开始),$y$ 是可以获得的最大能量值。

数据范围

$1 \leq T \leq 10$,
$1 \leq N \leq 100$,
$1 \leq S_i \leq 100$,
$1 \leq E_i \leq {10}^5$,
$0 \leq L_i \leq {10}^5$

输入样例:

3
4
20 10 1
5 30 5
100 30 1
5 80 60
3
10 4 1000
10 3 1000
10 8 1000
2
12 300 50
5 200 0

输出样例:

Case #1: 105
Case #2: 8
Case #3: 500

样例解释

在样例#1中,有 $N=4$ 个宝石。杜达可以选择的一个吃石头顺序是:

  • 吃第四块石头。这需要 $5$ 秒,并给他 $80$ 单位的能量。
  • 吃第二块石头。这需要 $5$ 秒,并给他 $5$ 单位的能量(第二块石头开始时具有 $30$ 单位能量,$5$ 秒后失去了 $25$ 单位的能量)。
  • 吃第三块石头。这需要 $100$ 秒,并给他 $20$ 单位的能量(第三块石头开始时具有 $30$ 单位能量,$10$ 秒后失去了 $10$ 单位的能量)。
  • 吃第一块石头。这需要 $20$ 秒,并给他 $0$ 单位的能量(第一块石头以 $10$ 单位能量开始,$110$ 秒后已经失去了所有的能量)。

他一共获得了 $105$ 单位的能量,这是能获得的最大值,所以答案是 $105$。

在样本案例#2中,有 $N=3$ 个宝石。

无论杜达选择吃哪块石头,剩下的两个石头的能量都会耗光。

所以他应该吃第三块石头,给他提供 $8$ 单位的能量。

在样本案例#3中,有 $N=2$ 个宝石。杜达可以:

  • 吃第一块石头。这需要 $12$ 秒,并给他 $300$ 单位的能量。
  • 吃第二块石头。这需要 $5$ 秒,并给他 $200$ 单位的能量(第二块石头随着时间的推移不会失去任何能量!)。

所以答案是 $500$。

 

解题思路

  对于所有吃能量石的方案的集合,我们要考虑选择吃哪些能量石与按照什么样的顺序吃这些能量石,使得得到的能量最大。对这两个选择的不同组合可以得到所有的方案。因为是两种不同的选择,因此会想到能不能只考虑一种选择。这里先通过贪心来得到最佳的吃能量石顺序,贪心的思路与耍杂技的牛相似,证明最优解一定在某种特定顺序的方案中选择。然后我们考虑的集合就会缩小,并且最优解一定会在这个特定顺序的所有方案的集合中。然后再用01背包去求最大能量。

  对于任意方案的相邻两个能量石,在吃第$i$个能量石的时刻,第$i$个能量石剩余的能量为${E_{i}}'$,第$i+1$个能量石剩余的能量为${E_{i+1}}'$。因此吃这两个能量石能够获得的能量为${E_{i}}' + {E_{i+1}}' - S_{i} \times L_{i+1}$。现在我们交换这两个能量石的顺序,那么在这个方案中除了这两个,其他能量石所能获得能量不变。而改变位置后,这两个能量石能获得的能量为${E_{i}}' + {E_{i+1}}' - S_{i+1} \times L_{i}$。对比${E_{i}}' + {E_{i+1}}' - S_{i} \times L_{i+1}$和${E_{i}}' + {E_{i+1}}' - S_{i+1} \times L_{i}$可以发现,当$S_{i} \times L_{i+1} < S_{i+1} \times L_{i}$,即$\frac{S_i}{L_i} < \frac{S_{i+1}}{L_{i+1}}$,第一种顺序所能获得的能量最大,反之是第二种。因此对于任意一个方案中,如果发现相邻两个能量石满足$\frac{S_i}{L_i} > \frac{S_{i+1}}{L_{i+1}}$,那么就交换这两个能量石的位置,获得的能量一定不会变小。因此最优的吃能量石的顺序是按照$\frac{S_i}{L_i}$递增的顺序,我们只考虑满足这种顺序的方案,且其他顺序的方案一定不会优于这种方案。

  剩下的就是在这个特定顺序下,选择哪些能量石可以获得最大能量,这个问题就是01背包问题,其中体积对应时间。定义状态$f(i,j)$为在前$i$个能量石中选,且消耗总时间恰好为$j$的所有方案所能获得的最大能量。状态转移方程为$$f(i,j) = max \{ {f(i-1,j),~ f(i-1,j - s_{i}) + e_{i} - l_{i} \times (j - s_{i})} \}$$

  因此解题步骤是先按照$\frac{S_i}{L_i} < \frac{S_{i+1}}{L_{i+1}}$从小到大排序,然后对排好序的序列进行01背包求解。

  AC代码如下:

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int N = 110, M = 1e4 + 10;
 5 
 6 struct Node {
 7     int s, e, l;
 8     
 9     bool operator<(Node &t) {
10         return s * t.l < t.s * l;   // s_{i} / l_{i} < s_{i+1} / l_{i+1}
11     }
12 }a[N];
13 int f[M];
14 
15 int main() {
16     int tot;
17     scanf("%d", &tot);
18     for (int u = 1; u <= tot; u++) {
19         int n, m = 0;
20         scanf("%d", &n);
21         for (int i = 1; i <= n; i++) {
22             scanf("%d %d %d", &a[i].s, &a[i].e, &a[i].l);
23             m += a[i].s;    // 把所有能量石所消耗的时间累加,m就是背包的体积容量
24         }
25         
26         sort(a + 1, a + n + 1);
27         
28         memset(f, -0x3f, sizeof(f));
29         f[0] = 0;
30         for (int i = 1; i <= n; i++) {
31             for (int j = m; j >= a[i].s; j--) {
32                 f[j] = max(f[j], f[j - a[i].s] + a[i].e - a[i].l * (j - a[i].s));
33             }
34         }
35         
36         int ret = 0;
37         for (int i = 0; i <= m; i++) {
38             ret = max(ret, f[i]);
39         }
40         printf("Case #%d: %d\n", u, ret);
41     }
42     
43     return 0;
44 }

 

参考资料

  AcWing 734. 能量石(算法提高课):https://www.acwing.com/video/389/

这篇关于能量石的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对大家有所帮助,也希望大家多多支持为之网!