能量石

岩石怪物杜达生活在魔法森林中，他在午餐时收集了 $N$ 块能量石准备开吃。

由于他的嘴很小，所以一次只能吃一块能量石。

能量石很硬，吃完需要花不少时间。

吃完第 $i$ 块能量石需要花费的时间为 $S_i$ 秒。

杜达靠吃能量石来获取能量。

不同的能量石包含的能量可能不同。

此外，能量石会随着时间流逝逐渐失去能量。

第 $i$ 块能量石最初包含 $E_i$ 单位的能量，并且每秒将失去 $L_i$ 单位的能量。

当杜达开始吃一块能量石时，他就会立即获得该能量石所含的全部能量（无论实际吃完该石头需要多少时间）。

能量石中包含的能量最多降低至 $0$。

请问杜达通过吃能量石可以获得的最大能量是多少？

输入格式

第一行包含整数 $T$，表示共有 $T$ 组测试数据。

每组数据第一行包含整数 $N$，表示能量石的数量。

接下来 $N$ 行，每行包含三个整数 $S_i,E_i,L_i$。

输出格式

每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

结果表示为 Case #x: y ，其中 $x$ 是组别编号（从 $1$ 开始），$y$ 是可以获得的最大能量值。

数据范围

$1 \leq T \leq 10$,
$1 \leq N \leq 100$,
$1 \leq S_i \leq 100$,
$1 \leq E_i \leq {10}^5$,
$0 \leq L_i \leq {10}^5$

输入样例：

3
4
20 10 1
5 30 5
100 30 1
5 80 60
3
10 4 1000
10 3 1000
10 8 1000
2
12 300 50
5 200 0

输出样例：

Case #1: 105
Case #2: 8
Case #3: 500

样例解释

在样例＃1中，有 $N=4$ 个宝石。杜达可以选择的一个吃石头顺序是：

• 吃第四块石头。这需要 $5$ 秒，并给他 $80$ 单位的能量。
• 吃第二块石头。这需要 $5$ 秒，并给他 $5$ 单位的能量（第二块石头开始时具有 $30$ 单位能量，$5$ 秒后失去了 $25$ 单位的能量）。
• 吃第三块石头。这需要 $100$ 秒，并给他 $20$ 单位的能量（第三块石头开始时具有 $30$ 单位能量，$10$ 秒后失去了 $10$ 单位的能量）。
• 吃第一块石头。这需要 $20$ 秒，并给他 $0$ 单位的能量（第一块石头以 $10$ 单位能量开始，$110$ 秒后已经失去了所有的能量）。

他一共获得了 $105$ 单位的能量，这是能获得的最大值，所以答案是 $105$。

在样本案例＃2中，有 $N=3$ 个宝石。

无论杜达选择吃哪块石头，剩下的两个石头的能量都会耗光。

所以他应该吃第三块石头，给他提供 $8$ 单位的能量。

在样本案例＃3中，有 $N=2$ 个宝石。杜达可以：

• 吃第一块石头。这需要 $12$ 秒，并给他 $300$ 单位的能量。
• 吃第二块石头。这需要 $5$ 秒，并给他 $200$ 单位的能量（第二块石头随着时间的推移不会失去任何能量！）。

所以答案是 $500$。

解题思路

　　对于所有吃能量石的方案的集合，我们要考虑选择吃哪些能量石与按照什么样的顺序吃这些能量石，使得得到的能量最大。对这两个选择的不同组合可以得到所有的方案。因为是两种不同的选择，因此会想到能不能只考虑一种选择。这里先通过贪心来得到最佳的吃能量石顺序，贪心的思路与耍杂技的牛相似，证明最优解一定在某种特定顺序的方案中选择。然后我们考虑的集合就会缩小，并且最优解一定会在这个特定顺序的所有方案的集合中。然后再用01背包去求最大能量。

　　对于任意方案的相邻两个能量石，在吃第$i$个能量石的时刻，第$i$个能量石剩余的能量为${E_{i}}'$，第$i+1$个能量石剩余的能量为${E_{i+1}}'$。因此吃这两个能量石能够获得的能量为${E_{i}}' + {E_{i+1}}' - S_{i} \times L_{i+1}$。现在我们交换这两个能量石的顺序，那么在这个方案中除了这两个，其他能量石所能获得能量不变。而改变位置后，这两个能量石能获得的能量为${E_{i}}' + {E_{i+1}}' - S_{i+1} \times L_{i}$。对比${E_{i}}' + {E_{i+1}}' - S_{i} \times L_{i+1}$和${E_{i}}' + {E_{i+1}}' - S_{i+1} \times L_{i}$可以发现，当$S_{i} \times L_{i+1} < S_{i+1} \times L_{i}$，即$\frac{S_i}{L_i} < \frac{S_{i+1}}{L_{i+1}}$，第一种顺序所能获得的能量最大，反之是第二种。因此对于任意一个方案中，如果发现相邻两个能量石满足$\frac{S_i}{L_i} > \frac{S_{i+1}}{L_{i+1}}$，那么就交换这两个能量石的位置，获得的能量一定不会变小。因此最优的吃能量石的顺序是按照$\frac{S_i}{L_i}$递增的顺序，我们只考虑满足这种顺序的方案，且其他顺序的方案一定不会优于这种方案。

　　剩下的就是在这个特定顺序下，选择哪些能量石可以获得最大能量，这个问题就是01背包问题，其中体积对应时间。定义状态$f(i,j)$为在前$i$个能量石中选，且消耗总时间恰好为$j$的所有方案所能获得的最大能量。状态转移方程为$$f(i,j) = max \{ {f(i-1,j),~ f(i-1,j - s_{i}) + e_{i} - l_{i} \times (j - s_{i})} \}$$

　　因此解题步骤是先按照$\frac{S_i}{L_i} < \frac{S_{i+1}}{L_{i+1}}$从小到大排序，然后对排好序的序列进行01背包求解。

　　AC代码如下：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int N = 110, M = 1e4 + 10;
 5 
 6 struct Node {
 7     int s, e, l;
 8     
 9     bool operator<(Node &t) {
10         return s * t.l < t.s * l;   // s_{i} / l_{i} < s_{i+1} / l_{i+1}
11     }
12 }a[N];
13 int f[M];
14 
15 int main() {
16     int tot;
17     scanf("%d", &tot);
18     for (int u = 1; u <= tot; u++) {
19         int n, m = 0;
20         scanf("%d", &n);
21         for (int i = 1; i <= n; i++) {
22             scanf("%d %d %d", &a[i].s, &a[i].e, &a[i].l);
23             m += a[i].s;    // 把所有能量石所消耗的时间累加，m就是背包的体积容量
24         }
25         
26         sort(a + 1, a + n + 1);
27         
28         memset(f, -0x3f, sizeof(f));
29         f[0] = 0;
30         for (int i = 1; i <= n; i++) {
31             for (int j = m; j >= a[i].s; j--) {
32                 f[j] = max(f[j], f[j - a[i].s] + a[i].e - a[i].l * (j - a[i].s));
33             }
34         }
35         
36         int ret = 0;
37         for (int i = 0; i <= m; i++) {
38             ret = max(ret, f[i]);
39         }
40         printf("Case #%d: %d\n", u, ret);
41     }
42     
43     return 0;
44 }

参考资料

　　AcWing 734. 能量石（算法提高课）：https://www.acwing.com/video/389/