由来（doge）

Once upon a time, there were two clever people named Alice and Bob. This is how the story begins...

基础

\(N\) 为先手必胜局面，\(P\) 为先手必败局面。

先手被认为输的局势，我们可以称之为奇异局势。

巴什博弈

小学奥数题：甲乙轮流报数至多报 77 个数，至少报 11 个数，从 11 开始，谁先报到 5050 谁就胜利。甲先报，有无必胜策略？

威佐夫（Wythoff）博弈

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

设两堆分别剩余 \(x,y\) 的局面为 \((x,y)\)。

小范围暴力打表得到奇异局势（pair 之中小的放前面）：

我们用 \((a_k,b_k)\) 表示。可以看出 \(b_k=a_k+k,a_k=\text{mex}\{a_1,b_1,\dots,a_{k-1},b_{k-1}\}\)

然后，通过「找规律」得到（在考场上不相信有人严谨证明，就是小范围打表得到的）：

Nim 博弈

结论：异或和为 \(0\) 则 \(P\)，否则 \(N\)。

证明（真的只是证明，不知道当时先人咋想出来的结论）:

首先必败局面有全 \(0\)，异或和为 \(0\)，满足要求。

接下来我们按石子总数来强归纳：

• 若当前异或和为 \(0\)，则任意取石子后异或和均不为 \(0\)，均为后手创造必胜局面。

• 若当前异或和不为 \(0\)，我们构造一种方案使得操作后异或和为 \(0\)，为后手创造败局面：设当前异或和为 \(v\)，

K-Nim

P2490 [SDOI2011]黑白棋 & Loj3784. 「SDOI2011」黑白棋（数据水，过了不一定对）

有 \(n\) 堆石子，每次可从 \(k\) 堆石子中拿走任意数量的石子。

两个人轮流拿，谁不能拿谁输。

结论： 将每堆数量分别用二进制表示（设二进制最高位为 \(c-1\)），每一位对应相加（\(n\) 个 \(0/1\) 相加），得到 \(s_0,s_1,s_2,\dots,s_{c-1}\)，奇异局面当且仅当\(\{s\}\) 均为 \((k+1)\) 的倍数。

\(k=1\) 时即为正常 Nim。

证明不难，类似正常 Nim。

Anti-Nim

先手必胜：

• 异或和为 \(0\) 且每一堆都只有 \(1\) 个石子

• 异或和不为 \(0\) ，且至少有一堆多于 \(1\) 个石子

SG（人名 Sprague-Grundy）函数

分道：\(sg(x)=\text{mex}\{sg(son)\}\)

分局面：\(sg(x)=\text{xor}\{sg(son)\}\)

树上删边博弈

算是 SG 例题。

在树上，我们可以进行这样一种博弈游戏：

给出一个有 \(n\) 个点的树，有一个点作为树的根节点，游戏者只有两人。

游戏者轮流从树中删去边，删去一条边后，不与根节点相连的部分将被移走。

谁无路可走谁输。

简单的树手推一下各个 SG 值，然后找规律。

发现 \(sg(rt)=\text{xor}\{(sg(son)+1)\}\)。

证明对树的大小归纳，不难，略。

当然类似的树上博弈也类似做法，即 SG 扩展性好。