CSPJS的第一年，也是C++洛谷初赛题解CSPJ部分的最后一期，那就是2019年。这期会对C++洛谷初赛题解专栏内容做出一些调整。

第一题

题目与选项：

中国的国家顶级域名是（）

A. .cn  B. .ch  C. chn  D. china

答案与解析：

A

典型的国家顶级域名有.cn （中国）、.us （美国）、.uk（英国）、.jp （日本）、.sg （新加坡）等。典型的通用顶级域名有.edu（教育机构）、.gov （政府部门）、.net（网络组织）、.com （商业组织）、.org（非营机构）、.mil （军事部门）等。

第二题

题目与选项：

二进制数11 1011 1001 0111和01 0110 1110 1011进行逻辑与运算的结果 是（）。

A. 01 0010 1000 1011   B. 01 0010 1001 0011  C. 01 0010 1000 0001   D. 01 0010 1000 0011

答案与解析：

D

逐位进行与运算。对于每一位，0与0得0, 1与0得0, 0与1得0, 1 与1得1。

第三题

题目与选项：

一个32位整型变量占用（）个字节。

A. 32   B. 128   C. 4   D. 8

答案与解析：

C

8位是1字节，因此32位是4字节。在C++语言中，int是最常用的带符 号32位整型变量，可表示数值：[-231,231-1], unsigned int是最常用的无符号 32位整型变量，可表示数值[0, 232-1]。

第四题

题目与选项：

若有如下程序段，其中 s、a、b、c 均已定义为整型变量,且 a、c 均已赋值（c 大于 00）

s = a;  
for （b = 1; b <= c; b++） s = s - 1;

则与上述程序段功能等价的赋值语句是（）

A. s = a - c;   B. s = a - b;   C. s = s - c;   D. s = b - c;

答案与解析：

A

s初始化为a,紧接着for循环c次，每次s减1,因此该程序段相当于s=a-c。

第五题

题目与选项：

设有100个己排好序的数据元素，采用折半查找时，最大比较次数为（）

A. 7  B. 10   C. 6   D. 8

答案与解析：

A

对100个有序元素进行折半查找，每次査找可将检索范围缩小一半。由 26-1<100<=27-1可知，最大比较次数为7。

第六题

题目与选项：

链表不具有的特点是（）

A.插入删除不需要移动元素   B.不必事先估计存储空间  C.所需空间与线性表长度成正比   D.可随机访问任一元素

答案与解析：

D

这题挺熟的了，C++洛谷题解——2020里面说过这道题。

第七题

题目与选项：

把8个同样的球放在5个同样的袋子里，允许有的袋子空着不放，问共冇多 少种不同的分法？（）

提示：如果8个球都放在一个袋子里，无论是哪个袋子，都只算同一种分法

A. 22   B. 24   C. 18   D. 20

答案与解析：

C

枚举法求解，8个同样的球分1个袋子共1种方案，分2个袋子共4种方案，分3个袋子共5种方案，分4个袋子共5种方案，分5个袋子共3种方案，合计18种。

第八题

题目与选项：

一棵二叉树如右图所示，若采用顺序存储结构，即用一维数组元素存储该二叉树中的结点（根结点的下标为 11，若某结点的下标为 ii，则其左孩子位于下标 2i2i 处、右孩子位于下标 2i+12i+1 处），则该数组的最大下标至少为（）。

A. 6   B. 10   C. 15   D. 12

答案与解析：

C

根据题目给定的规则可知，下标最大的结点为树中深度最大且最靠右的结点,其下标为((1*2+1)*2+1)*2+1=15。

第九题

题目与选项：

100 以内最大的素数是（）。

A. 89   B. 97   C. 91   D. 93

答案与解析：

B

98 - 100均为合数，97为素数。

第十题

题目与选项：

319 和 377 的最大公约数是（）。

A. 27   B. 33   C. 29   D. 31

答案与解析：

C

使用辗转相除法可得 GCD（319, 377） =GCD（319, 58） =GCD（58, 29）=29。或将 两数分解质因数后，提取公共部分亦可求解。

第十一题

题目与选项：

新学期开学了，小胖想减肥，健身教练给小胖制定了两个训练方案。

• 方案一：每次连续跑 33 公里可以消耗 300300 千卡（耗时半小时）；
• 方案二：每次连续跑 55 公里可以消耗 600600 千卡（耗时 11 小时）。

小胖每周周一到周四能抽出半小时跑步，周五到周日能抽出一小时跑步。
另外，教练建议小胖每周最多跑21公里，否则会损伤膝盖。
请问如果小胖想严格执行教练的训练方案，并且不想损伤膝盖，每周最多通过跑步消耗多少千卡？（）

A. 3000   B.2500   C. 2400   D. 2520

答案与解析：

C

设方案1执行x天，方案2执行y天，则有3x+5y<=21 x+y<=7, y<=3。要求300x+600y的最大值，枚举可得最优方案为x=2、y=3,此时300x+600y为 2400。或使用线性规划亦可求解。

第十二题

题目与选项：

—副纸牌除掉大小王有 5252张牌，四种花色，每种花色 1313 张。

假设从这 5252 张牌中随机抽取 1313 张纸牌，则至少（）张牌的花色一致。

A. 4   B. 2   C. 3   D. 5

答案与解析：

A

最坏情况，13张牌对应四种花色的牌数为3、3、3、4。

第十三题

题目与选项：

—些数字可以颠倒过来看，例如 0,1,80,1,8 颠倒过来还是本身，66 颠倒过来是 99，99 颠倒过来看还是 66，其他数字颠倒过来都不构成数字。
类似的，一些多位数也可以颠倒过来看，比如 106106 颠倒过来是 901901。假设某个城市的车牌只由 55 位数字组成，每一位都可以取 00 到 99。
请问这个城市最多有多少个车牌倒过来恰好还是原来的车牌？（）

A. 60   B. 125   C. 75   D. 100

答案与解析：

C

前2位有0、1、8、6、9共5种选择，第3位只能放0、1、8,后2位由前2位决定，因此总方案数为5*5*3*1*1=75。

第十四题

题目与选项：

假设一棵二叉树的后序遍历序列为 DGJHEBIFCA，中序遍历序列为 DBGEHJACIF，则其前序遍历序列为（）。

A. ABCDEFGIIIJ   B. ABDEGHJCFI   C. ABDEGJHCFI   D. ABDEGHJFIC

答案与解析：

B

后序遍历的规则是“左右根”、中序遍历的规则是“左根右”，因此可知， A是树根、DBGEHJ是A左子树的中序遍历（对应后续遍历DGJHEB）、CIF是A右子树的中序遍历（对应后续遍历IFC）,递归画出对应的二叉树，再根据前序遍历规则“根左右”即可求出答案。

第十五题

题目与选项：

以下哪个奖项是计算机科学领域的最高奖？（）

A.图灵奖   B.鲁班奖   C.诺贝尔奖   D.普利策奖

答案与解析：

A

这道题在C++洛谷初赛题解——2021里已经说过了，没想到2019年的15题会送2分。

第十六题

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
char st[100];
int main() {
    scanf("%s", st);
    int n = strlen(st);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (n % i == 0) {
            char c = st[i - 1];
            if (c >= 'a')
                st[i - 1] = c - 'a' + 'A';
        }
    }
    printf("%s", st);
    return 0;
}		

判断题

1.输入的字符串只能由小写字母或大写字母组成。（）

答案与解析：

×

输入的字符串也可以包含数字等其他字符。

2.若将第 88 行的 i = 1 改为 i = 0，程序运行时会发生错误。（）

答案与解析：

√

若i可以为0,则第9行的if语句条件"n%i==0”将发生运行时错误RE。

3.若将第 88 行的 i <= n 改为 i * i <= n，程序运行结果不会改变。（）

答案与解析：

×

当第8行的循环条件为“i<=n”时，字符串的末尾字符会被程序加工，但若改为“i*i<=n”，字符串的末尾字符将不会被程序加工（除非字符串长度为1）。

4.若输入的字符串全部由大写字母组成，那么输出的字符串就跟输入的字符串一样。（）

答案与解析：

√

大写字母的ASCII编码值小于小写字母的。若输入的字符串全部由大写字 母组成，则程序不会对其进行加工。

选择题

5.若输入的字符串长度为 1818，那么输入的字符串跟输出的字符串相比，至多有（）个字符不同。

A. 18   B. 6   C. 10   D. 1

答案与解析：

B

18的正约数共有6个，因此程序至多修改输入字符串中的6个字符，即输出字符串与输入字符串至多有6个字符不同。

6.若输入的字符串长度为（），那么输入的字符串跟输出的字符串相比，至多有 3636 个字符不同。

A. 36   B. 100000   C. 1   D. 128

答案与解析：

B

根据程序的作用可知，要使输出字符串和输入字符串之间至多有36个字符不同，36应当是字符串长度n的约数个数。本题选项中，仅有100000满足要求，将其分解质因数得100000=25*55得其的正约数共有（5+1）*（5+1）=36个。

第十七题

题目与选项：

#include<cstdio>
using namespace std;
int n, m;
int a[100], b[100];

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        a[i] = b[i] = 0;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        if (a[x] < y && b[y] < x) {
            if (a[x] > 0)
                b[a[x]] = 0;
            if (b[y] > 0)
                a[b[y]] = 0;
            a[x] = y;
            b[y] = x;
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (a[i] == 0)
            ++ans;
        if (b[i] == 0)
            ++ans;
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

假设输入的 n 和 m 都是正整数，x 和 y 都是在 [1,n] 的范围内的整数，完成下面的判断题和单选题：

判断题

1.当 m>0 时，输出的值一定小于 2n。（）

答案与解析：

√

由限定条件0<x,y<=n可知，当m>0时，一定存在某个数对被我们选中,此时ans<2n。

2.执行完第 27 行的 ++ans 时，ans —定是偶数。（）

答案与解析：

×

由于数对是一个左值与一个右值相匹配，因此ans最终一定是偶数。但第 27行的“++ans”在第23行的for循环的内部，其中间结果可能为奇数。

3.a[i] 和 b[i] 不可能同时大于 0。（）

答案与解析：

×

a[i]用于记录与左值i相匹配的右值，不存在则为0； b[i]用于记录与右值i相匹配的左值，不存在则为0。当存在数对(i,y)和(x, i)都被我们选中时，a[i]和b[i]就会同时大于0。

4.右程序执行到第 13 行时，x 总是小于 y，那么第 15 行不会被执行。（）

答案与解析：

×

存在反例——依次考虑数对(1,2) (1,3)时，第15行程序会被执行。

选择题

5.若 m 个 x 两两不同，且 m 个 y 两两不同，则输出的值为（）

A. 2n-2m   B. 2n+2   C. 2n-2   D. 2n

答案与解析：

A

此时，输入的数对两两互不冲突，因此程序会将它们全部选中，根据上述 ans的意义可知，其结果为2n-2m。

6.若 m 个 x 两两不同，且 m 个 y 都相等，则输出的值为（）

A. 2n-2   B. 2n   C. 2m   D. 2n-2m

答案与解析：

A

此时，输入的数对两两存在冲突，因此程序最终只会选用一个数对，根据 上述ans的意义可知，其结果为2n-2。

第十八题

题目与选项：

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 10000;
int n;
int a[maxn];
int b[maxn];
int f(int l, int r, int depth) {
    if (l > r)
        return 0;
    int min = maxn, mink;
    for (int i = l; i <= r; ++i) {
        if (min > a[i]) {
            min = a[i];
            mink = i;
        }
    }
    int lres = f(l, mink - 1, depth + 1);
    int rres = f(mink + 1, r, depth + 1);
    return lres + rres + depth * b[mink];
}
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> a[i];
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> b[i];
    cout << f(0, n - 1, 1) << endl;
    return 0;
}

判断题

1.如果 a 数组有重复的数字，则程序运行时会发生错误。（）

答案与解析：

×

若a数组有重复数字，则程序在根据a数组递归构造符合要求的二叉树时，对于相同结点值，会优先考虑位于左侧的。

2.如果 b 数组全为 0，则输出为 0。（）

答案与解析：

√

程序最终输出的是各结点深度与b值的加权和，因此若b数组全为0,则加权和显然为0。

选择题

3.当 n=100 时，最坏情况下，与第 12 行的比较运算执行的次数最接近的是：（）。

A. 5000   B. 600   C. 6   D. 100

答案与解析：

A

最坏情况下，程序所构造的二叉树的每个结点至多仅有一个子结点，此时, 程序将递归100层，其中第i层进行100-i+1次第12行的比较运算，总执行次数为 100+99+98+…+ 1≈5000。

4.当 n=100 时，最好情况下，与第 12 行的比较运算执行的次数最接近的是：（）。

A. 100   B. 6   C. 5000   D. 600

答案与解析：

D

最佳情况下，程序构造二叉树时，对于每个结点会尽可能均分其左右子树。 定义根结点深度为1，则含n=100个结点的树的深度最小为logn≈7,此时每选定一层结点，程序都需要执行约n次的第12行的比较运算，因此总执行次数约为 nlogn≈600。

5.当 n=10 时，若 b 数组满足，对任意 0≤i<n，都有 b[i] = i + 1，那么输出最大为（）。

A. 386   B. 383   C. 384   D. 385

答案与解析：

D

此时，要使输出的ans值尽可能大，程序所构造的二叉树的深度应尽可能的大。定义根结点深度为1，则含10个结点的二叉树的最大深度为10，因此ans 的最大值为 1*1+2*2+3*3+…+10*10=385。

6.（4分）当 n=100 时，若 b 数组满足，对任意 0≤i<n，都有 b[i]=1，那么输出最小为（）。

A. 582   B. 580   C. 579   D. 581

答案与解析：

B

此时，要使输出的ans值尽可能小，程序应参照完全二叉树构造此树，其 中深度为1的结点共1个，深度为2的结点共2个，深度为3的结点共4个…… 深度为6的结点共32个，剩余37个结点的深度为7，因此ans的最小值为（1*1+2*2+3*4+…+6*32）+7*37=580。

第十九题

题目与选项：

（矩阵变幻）有一个奇幻的矩阵，在不停的变幻，其变幻方式为：

数字 0 变成矩阵

0 0 
0 1

数字 1 变成矩阵

1 1
1 0

最初该矩阵只有一个元素 0，变幻 n 次后，矩阵会变成什么样？

例如，矩阵最初为：[0]；

矩阵变幻 1 次后：

0 0 
0 1

矩阵变幻 2 次后：

0 0 0 0
0 1 0 1
0 0 1 1
0 1 1 0

输入一行一个不超过 10 的正整数 n。输出变幻 n 次后的矩阵。

试补全程序。

提示：

<< 表示二进制左移运算符，例如 (11)2​ << 2 = (1100)2​；
而 ^ 表示二进制异或运算符，它将两个参与运算的数中的每个对应的二进制位—进行比较，若两个二进制位相同，则运算结果的对应二进制位为 0 ，反之为 1。

#include <cstdio>
using namespace std;
int n;
const int max_size = 1 << 10;

int res[max_size][max_size];

void recursive(int x, int y, int n, int t) {
    if (n == 0) {
        res[x][y] = ①;
        return;
    }
    int step = 1 << (n - 1);
    recursive(②, n - 1, t);
    recursive(x, y + step, n - 1, t);
    recursive(x + step, y, n - 1, t);
    recursive(③, n - 1, !t);
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    recursive(0, 0, ④);
    int size = ⑤;
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        for (int j = 0; j < size; j++)
            printf("%d", res[i][j]);
        puts("");
    }
    return 0;
}	

①处应填（）

A. n % 2   B. 0   C. t   D. 1

答案与解析：

A

此处为递归边界，当需要计算的是单位矩阵时，相应元素应赋值为t,即无需再经任何变换。

②处应填（）

A. x – step , y – step   B. x，y - step  C. x – step , y   D. x, y

答案与解析：

D

左上角（x,y）,且大小2n*2n的矩阵，可以分成4个2n-1*2n-1的矩阵分别计算。此处需要计算的是4个矩阵中位于左上方的矩阵，该矩阵的左上角坐标为(x, y)。

③处应填（）

A. x - step, y - step   B. x + step, y + step  C. x - step, y   D. x, y – step

答案与解析：

B

左上角（x,y）,且大小2n*2n的矩阵，可以分成4个2n-1*2n-1的矩阵分别计算。此处需要计算的是4个矩阵中位于右下方的矩阵，该矩阵的左上角坐标为 （x+2n-1, y+2n-1）。

④处应填（）

A. n - 1, n % 2   B. n, 0  C. n, n % 2   D. n - 1, 0

答案与解析：

B

此处是递归计算的入口，即题目最终所求的是大小2n*2n,由单个数字0 变幻而来的矩阵，因此递归函数的后两个参数应设为n和0。

⑤处应填（）

A. 1 << (n + 1)   B. 1 << n  C. n + 1   D. 1 << （n - 1）

答案与解析：

B

此处是计算最终所求的矩阵大小，即边长size为2n,位运算写做“1<<n”

第二十题

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 10000000;
const int maxs = 10000;

int n;
unsigned a[maxn], b[maxn],res[maxn], ord[maxn];
unsigned cnt[maxs + 1];
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) 
        scanf("%d%d", &a[i], &b[i]);
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
    for (int i = 0; i < maxs; ++i)
        ①; // 利用 cnt 数组统计数量
    for (int i = 0; i < n; ++i) 
        cnt[i + 1] += cnt[i];
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        ②; // 记录初步排序结果
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        ③; // 利用 cnt 数组统计数量
    for (int i = 0; i < maxs; ++i)
        cnt[i + 1] += cnt[i];
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i)
        ④ // 记录最终排序结果
    for (int i = 0; i < n; i++)
        printf("%d %d", ⑤);

    return 0;
}

①处应填（）

A. ++cnt[i]  B. ++cnt[b[i]]  C. ++cnt[a[i] * maxs + b[i]]  D. ++cnt[a[i]]

答案与解析：

B

此处是根据第二关键词b进行计数排序，并做各关键词的数量统计工作， 因此将b[i]对应的元素数量自增1。

②处应填（）

A. ord[--cnt[a[i]]] = i  B. ord[--cnt[b[i]]] = a[i]  C. ord[--cnt[a[i]]] = b[i]  D. ord[--cnt[b[i]]] = i

答案与解析：

D

此处是根据第二关键词b进行计数排序，并记录排序结果。此时的ent [key] 用于表示关键词为key的元素在结果数组中的位置，因此这里的程序应将关键词为b[i]的元素i放在ord数组里。

③处应填（）

A. ++cnt[b[i]]  B. ++cnt[a[i] * maxs + b[i]]  C. ++cnt[a[i]]  D. ++cnt [i]

答案与解析：

C

此处是根据第一关键词a进行计数排序，并做各关键词的数量统计工作， 因此将a[i]对应的元素数量自增1。

④处应填（）

A. res[--cnt[a[ord[i]]]] = ord[i]  B. res[--cnt[b[ord[i]]]] = ord[i]  C. res[--cnt[b[i]]] = ord[i]  D. res[--cnt[a[i]]] = ord[i]

答案与解析：

A

此处是根据第一关键词a进行计数排序，并记录排序结果。由于此前已经根据第二关键词b进行计数排序，此时第i个元素的原始下标实际为ord[i], 因此这里的程序应将关键词为a[ord[i]]的元素ord[i]放在res数组里。

⑤处应填（）

A. a[i], b[i]  B. a[res[i]], b[res[i]]  C. a[ord[res[i]]] , b[ord[res[i]]]  D. a[res[ord[i]]] , b[res[ord[i]]]

答案与解析：

B

此处是按顺序输出排序结果。由于此前已经按照第二关键词、第一关键词完成了计数排序，此时第i个元素的原始下标实际为res[i]。