\(Beautiful\)

前置芝士：

康托展开
不完全错排

解题：

• 设\(A\)为给出的矩阵，\(B\)为一个字典序小于\(A\)的一个美丽矩阵。
• 我们应该计算对于所有行i，\(A\)与\(B\)的前\(i-1\)行相同，且\(A_{i}\)的字典序大于\(B_{i}\)的方案数
• 第一行康托展开处理即可。
• 对于剩下的行，我们已经要求前\(i-1\)行是相同的，需要计算存在多少种合法的\(B_{i}<A_{i}\).我们对于行的处理同样要求在\((i,j)\)的位置前\(j-1\)个位置是相同的，并计算\(A_{i,j}>B{i,j}\)的方案数
• 现在考虑的是，已经确定了\(A_{i}与B_{i}\)的前\(j-1列相同且A_{i,j}>B_{i,j}\)的方案数后，如何求得\(n-j\)列的合法方案数
  1. \(我们设S={A_{i-1,k}|k∈[1,j]},T={B_{i,k}|k∈[1,j]},y=S-|S∩T|，那么在j位置之后就会有y个位置是不受限制的（不受限指可以在指定区间内放在任意位置），因为y是S中[1,j]的范围内独有的元素个数，这y个数在j之后的位置只会在B中出现所以没有限制\)
  2. \(错排：用f_{i,j}表示有i个元素的排列，其中个元素受限的方案数，考虑dp解决。 递推式：f_{i,j} = f_{i,j-1}-f_{i-1,j-1}\)
• 对于每个位置分类讨论
  1. \(在B_{i,j}填一个<A_{i,j},且没有在A_{i-1,k}(k∈[1,j])中出现过的合法的数\)
  2. \(在B_{i,j}填一个<A_{i,j},且已经在A_{i-1,k}(k∈[1,j])中出现过的合法的数\)
• 以上两种数可以用树状数组进行维护
  \(设S={A_{i-1,k}|k∈[1,j]},T={B_{i,k}|k∈[1,j]},y=S-|S∩T|\)
  如果选了第一种数，那么方案数为\(f_{n-j,n-j-y}\)
  如果选了第二种数，那么方案数为\(f_{n-j,n-j-y+1}\)
  代码