Kruskal 算法

1.Kruskal 算法介绍

最小生成树：

给定一张边带权的无向图 \(G=(V,E)\)，其中 \(V\) 表示图中点的集合，\(E\) 表示图中边的集合，\(n=|V|\)，\(m=|E|\)。

由 \(V\) 中的全部 \(n\) 个顶点和 \(E\) 中 \(n-1\) 条边构成的无向连通子图被称为 \(G\) 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 \(G\) 的最小生成树。

Kruskal 算法：

Kruskal 算法是图论最小生成树问题算法的一种，利用并查集的方式实现，多用于稀疏图，时间复杂度为 \(O(mlogm)\)，\(m\) 为边数。

2.Kruskal 算法例题

给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

输入格式

第一行包含两个整数 \(n\) 和 \(m\)。

接下来 \(m\) 行，每行包含三个整数 \(u,v,w\)，表示点 \(u\) 和点 \(v\) 之间存在一条权值为 \(w\) 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

\(1≤n≤105\),
\(1≤m≤2*105\),
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 \(1000\)。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

注：此题目来源于AcWing第859题

3.Kruskal 算法思路

Kruskal$算法将一个连通块当做一个集合。

Kruskal首先将所有的边按从小到大顺序排序（一般使用快排），并认为每一个点都是孤立的，分属于 \(n\) 个独立的集合。然后按顺序枚举每一条边。

如果这条边连接着两个不同的集合，那么就把这条边加入最小生成树，这两个不同的集合就合并成了一个集合；

如果这条边连接的两个点属于同一集合，就跳过。直到选取了 \(n-1\)条边为止。

4.Kruskal 算法原理

Kruskal 算法每次都选择一条最小的，且能合并两个不同集合的边，一张 \(n\) 个点的图总共选取 \(n-1\) 次边。

因为每次我们选的都是最小的边，所以最后的生成树一定是最小生成树。每次我们选的边都能够合并两个集合，最后 \(n\) 个点一定会合并成 一个集合。

通过这样的贪心策略，Kruskal算法就能得到一棵有 \(n-1\) 条边，连接着 \(n\) 个点的最小生成树。

注：来源于网络

5.Kruskal 算法代码（注释已全部标出）

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100005,M=200005;
int n,m;
int f[N];
struct Edge{
    int a,b,w;
    bool operator< (const Edge &W)const{
        return w<W.w;
    }//重载一下小于号，如果不会可以去看cmp函数
}edges[M];
/*
bool cmp(Edge a,Edge b){
    return a.w<b.w;
}
*/
int find(int x){
    if(f[x]!=x) f[x]=find(f[x]);//如果x非父节点，就继续找
    return x;//是则返回x
} 
int kruskal(){
    int res=0,cnt=0;//res记录最小生成树的树边权重之和,cnt记录的是全部加入到树的集合中边的数量(可能有多个集合)
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int a=edges[i].a,b=edges[i].b,w=edges[i].w;
        a=find(a),b=find(b);
        if(a!=b){
            f[b]=a;//将a,b所在的两个集合连接起来
            res+=w;//因为加入的是a-b的这一条边,将a,b所在的两个集合连接之后,全部集合中的边数加1
            cnt++;//加入到集合中的边的权重之和
        }	
    }
    if(cnt<n-1) return 0x3f3f3f3f;
    return res;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        cin>>edges[i].a>>edges[i].b>>edges[i].w;
    sort(edges+1,edges+m+1);//将边的权重按照大小一一排序
    //sort(edges+1,edges+m+1,cmp)
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;//初始化并查集
    int t=kruskal();
    if(t==0x3f3f3f3f) cout<<"impossible";
    else cout<<t;
    return 0;
}

完awa~

109 行！

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