Prim 算法

1.Prim 算法介绍

最小生成树：

给定一张边带权的无向图 \(G=(V,E)\)，其中 \(V\) 表示图中点的集合，\(E\) 表示图中边的集合，\(n=|V|\)，\(m=|E|\)。

由 \(V\) 中的全部 \(n\) 个顶点和 \(E\) 中 \(n−1\) 条边构成的无向连通子图被称为 \(G\) 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 \(G\) 的最小生成树。

Prim 算法：

Prim算法是图论最小生成树问题算法的一种，多使用于稠密图中。

2.Prim 算法例题

给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

输入格式

第一行包含两个整数 \(n\) 和 \(m\)。

接下来 \(m\) 行，每行包含三个整数 \(u,v,w\)，表示点 \(u\) 和点 \(v\) 之间存在一条权值为 \(w\) 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

数据范围

\(1≤n≤500,\)
\(1≤m≤105,\)
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

注：本题来源于AcWing题库858题。

3.Prim 算法思路

Prim算法采用“蓝白点”思想：

白点代表已经进入最小生成树的点，蓝点代表未进入最小生成树的点。

Prim算法每次循环都将一个蓝点 \(u\) 变为白点，并且此蓝点 \(u\) 与白点相连的最小边权 \(dist[u]\) 还是当前所有蓝点中最小的。这样相当于向生成树中添加了 \(n-1\) 次最小的边，最后得到的一定是最小生成树。

4.Prim 算法代码（注释已全部标出）

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=505;
int n,m;
int g[N][N],d[N];
bool st[N];
int res;
int prim(){
    memset(d,0x3f,sizeof(d));//初始化d数组为正无穷 
    for(int i=0;i<n;i++){//循环n次，从0开始后面判断容易 
   	    int t=-1;//找一个离集合最近的蓝点
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(!st[j]&&(t==-1||d[t]>d[j]))
                t=j;
        if(i&&d[t]==0x3f3f3f3f) return 0x3f3f3f3f;//如果全图有没被联通的点，就返回正无穷 
        if(i) res+=d[t];//如果这不是第一次循环，就把蓝点t离集合的最小距离加上 
        for(int j=1;j<=n;j++) d[j]=min(d[j],g[t][j])//用t来更新每一个点到集合的距离 
        st[t]=1; //蓝点变白点                   
    }
    return res;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    memset(g,0x3f,sizeof(g));
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int a,b,w;
        cin>>a>>b>>w;
        g[a][b]=g[b][a]=min(g[a][b],w);//无向图的性质 
    }
    if(prim()==0x3f3f3f3f) cout<<"impossible";
    else cout<<res;
    return 0;
} 

完awa~

84 行

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