题目描述

求\(1\sim n\)每个数欧拉函数之和

想法

1. 如果\(i\)是质数
   \(\varphi (i) = i - 1\)

质数\(i\)只有\(1\)和\(i\)两个因数，\(i\)不和\(i\)本身互质，因数只有一个\(1\)，所以互质的数就有\(i-1\)个

2. 如果\(i\)不是质数

1. \(i \% j = 0\)
   \(j\)是质数
   则\(j\)即\(i\)的一个质因子，所以\(\varphi (i)\)中已经包含了\(j\)

\(\varphi (j \times i) = j\times i\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})\times…\times(1-\frac{1}{p_k}))\)①
因为$\varphi (i) =i\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})\times…\times(1-\frac{1}{p_k}) \(② 将②代入①中得： \)\varphi (j \times i) = j \times \varphi (i)$

2. \(i \% j \neq 0\)
   则\(j\)不是\(i\)的质因子，根据线性筛中的推导，\(j\)是\(j \times i\)的最小质因子

所以\(\varphi(j\times i)=\varphi (i) \times \varphi (j)\)
由1可得，如果\(j\)是质数：\(\varphi (j) = j - 1\)
\(\varphi(j\times i)= \varphi (i) \times (j - 1)\)

发现过程中有关质因数，想到线性筛
所以我们可以套用线性筛的板子

码来！

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e6+10;

typedef long long LL;

int primes[N], idx; // 记录质数，idx是下标
int phi[N]; // 存储每个欧拉函数的值
bool st[N]; // 是否是质数

LL get_phi(int n)
{
    phi[1] = 1;
    
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if(!st[i]) // 如果i是质数
        {
            primes[idx++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }

        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            int t = primes[j] * i;

            st[t] = true;

            if(i % primes[j] == 0) // j是i的质因数的情况
            {
                phi[t] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
            // j不是i的质因数的情况
            phi[t] = phi[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
    
    LL res = 0; // 用longlong类型存储 —— 怕爆int

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        res += phi[i]; // 计算从1到n的欧拉函数之和
    }
    
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    LL ans = get_phi(n);

    printf("%lld\n", ans);
    
    return 0;
}

欢迎大佬指出本蒟蒻的错误！