学习多项式求逆的过程中,看着自己的代码怎么看怎么像是\(O(nlog^2n)\) 的,然后看到了大佬的写法:
void solve(LL *a,LL *b,int p){/*a:seq,b:inv*/ if(p==1){ b[0]=fpm(a[0],MOD-2); return; } solve(a,b,(p+1)>>1); lim=1; L=0; while(lim<(p<<1)){ lim<<=1; L++; } for(int i=0;i<lim;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(1&i)<<(L-1); for(int i=0;i<p;i++) tmp[i]=a[i]; for(int i=p;i<lim;i++) tmp[i]=0; NTT(tmp,1); NTT(b,1); for(int i=0;i<lim;i++) b[i]=(2-b[i]*tmp[i]%MOD+MOD)%MOD*b[i]%MOD; NTT(b,-1); for(int i=p;i<lim;i++) b[i]=0; }
可以看到这份代码在每轮倍增时只做了两次NTT和一次INTT,关键就在于大佬没有按部就班地把递推式的每个乘积项都卷出来,而是直接用点值表达式做乘法,
这样一轮倍增的复杂度是\(O(len)\)的,其中len是当前\(b\)式的长度。
所以事实上NTT并不是每一轮都跑满,而是很多时候,卷积的两个式子都很短。
这就很妙了(不过可能因为我是傻逼才想不到吧)。
NTT又一次写萎了,哈哈,再次证明我是傻逼