欧几里得算法

欧几里得算法基于的性质：

1. 若\(d|a, a|b\)，则\(d|(ax+by)\)

2. \((a,b)=(b,a~mod~b)\)

第二条性质证明：

\(\because a~mod~b=a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor\times b\)，令\(c=\lfloor \frac{a}{b} \rfloor\)

则问题等价于证明\((a,b)=(b,a-c\times b)\)

这个证明方法就和裴蜀定理的证明差不多。

证明：令\(d=gcd(a,b)\)，则\(d|a,d|b\)，易得\(d|(a-c\times b)\)。则\(d\)为\(b,(a-c\times b)\)的公因数。

那么令\(D=(b,a-c\times b)\)，\(d\leq D\)。

\(D|b,D|(a-c\times b)\)，易得\(D|a\)，则\(D\leq (a,b)=d\)。

因此\(d=D\)，即\(d=gcd(b,a-c\times b)\)

欧几里得算法模板

int gcd(int a, int b){
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

扩展欧几里得算法

1. 前置知识-裴蜀定理

裴蜀定理：\(\forall a,b\in \Z\)，令\(d=(a,b)\)，那么对于任意的整数\(x,y\in \Z\)，\(ax+by=kd\)。特别的，一定\(\exist x,y\)，使得\(ax+by=d\)成立。

丢番图方程\(ax+by=m\)有解，当且仅当\(m\)是\(d\)的倍数。丢番图方程有解时必然有无穷多个解，每组解\(x,y\)都称为裴蜀数，可用辗转相除法求得。

证明：

（前半句）\(\because d|a,d|b\)，\(\therefore \forall x,y\in Z, d|(ax+by)\)

（特别的...）设\(s\)为\(ax+by\)的最小正值，令\(q=\lfloor \frac{a}{s} \rfloor\)，\(r=a ~mod ~s\)。

则\(r=a-\lfloor \frac{a}{s} \rfloor\times s=a-q\times(ax+by)=a(1-qx)+b(-qy)\)，即\(r\)也为\(a,b\)的线性组合

\(\because r=a~mod~s\) ，\(\therefore 0\leq r <s\)

又\(s\)为\(ax+by\)的最小正值，可得\(r=0\)，即\(a ~mod~s=0\)。

\(\therefore s|a\)，再设\(r_2=b~mod~s\)，同理可得\(s|b\)。因此\(s\)为\(a,b\)的公因子，\(d\geq s\)。

\(\because d|a,d|b,s=ax+by\)，\(\therefore d|s\)，\(d\leq s\)。

因此\(d=s\)，命题得证。

推论1：\((a,b)=1\)的充分必要条件是\(\exist x,y\in Z, s.t.~~ax+by=1\)。

推论2：裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：\(d\)其实就是最小的可以写成\(ax + by\)形式的正整数。

推论2：设\(a_1,a_2,...,a_n\)为\(n\)个整数，\(d\)是它们的最大公约数，那么\(\exist x_1,x_2,...,x_n\)，使得\(a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=d\)成立。特别的，若\(a_1,a_2,...,a_n\)是互质的（不是两两互质），那么\(\exist x_1,x_2,...,x_n\)，使得\(a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=1\)成立。

2. 扩展欧几里得算法

如何用扩展欧几里得算法求裴蜀数？

假如要求解的不定方程（又名丢番图方程）为\(ax+by=m\)

我们现在先求解不定方程\(ax+by=d\)，其中\(d=(a,b)\)，\(d|m\)。

由欧几里得算法性质1，2可知\((a,b)=(b,a~mod~b)=(b, a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor\times b)\)

若\(ax_1+by_1=d\)有解，则\(by_2+(a~mod~b)x_2=d\)一定有解，即\(by_2+(a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor\times b)x_2=d\)有解。

化简得\(ax_2+b(y_2-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor\times x_2)=d\)，那么\(x_1=x_2,y_1=y_2-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor\times x_2\)。

于是可以递归进行操作，当\(b'=0\)时，\((a',0)=d\)，也就是\(a'=d\)，此时\(x=1,y=0\)为一组平凡解，再不断带回，即可得到不定方程的一组特解，设此特解为\(\{x_1,y_1\}\)。则通解即为\(\{x_1+k\times\frac{b}{d}, y_1-k\times\frac{a}{d}, k\in \Z\}\)

证明通解是方程的解：

\(ax+by=a\times(x_1+k\times\frac{b}{d})+b\times(y_1-k\times\frac{a}{d})\\=ax_1+by_1+k\times (\frac{ab}{d}-\frac{ab}{d})=d\)

因此，通解是可以使等式成立的。

那么同理，\(ax+by=m\)，通解也是\(\{x_0+k\times \frac{b}{d}, y_0-k\times \frac{a}{d}\}\)。

• 代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if (!b){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a%b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}