由来（doge）

Once upon a time, there were two clever people named Alice and Bob. This is how the story begins...

基础

\(N\) 为先手必胜局面，\(P\) 为先手必败局面。

先手被认为输的局势，我们可以称之为奇异局势。

巴什博弈

小学奥数题：甲乙轮流报数至多报 77 个数，至少报 11 个数，从 11 开始，谁先报到 5050 谁就胜利。甲先报，有无必胜策略？

威佐夫（Wythoff）博弈

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

设两堆分别剩余 \(x,y\) 的局面为 \((x,y)\)。

小范围暴力打表得到奇异局势（pair 之中小的放前面）：

我们用 \((a_k,b_k)\) 表示。可以看出 \(b_k=a_k+k,a_k=\text{mex}\{a_1,b_1,\dots,a_{k-1},b_{k-1}\}\)

然后，通过「找规律」得到（在考场上不相信有人严谨证明，就是小范围打表得到的）：

Nim 博弈

结论：异或和为 \(0\) 则 \(P\)，否则 \(N\)。

猜想：可以用来证明 一组数在某进制下异或为 \(0\) ，则在其他进制下也为 \(0\)。

Anti-Nim

先手必胜：

• 异或和为 \(0\) 且每一堆都只有 \(1\) 个石子

• 异或和不为 \(0\) ，且至少有一堆多于 \(1\) 个石子

SG（人名 Sprague-Grundy）函数

分道：\(sg(x)=\text{mex}\{sg(son)\}\)

分局面：\(sg(x)=\text{xor}\{sg(son)\}\)

树上删边博弈

算是 SG 例题。

在树上，我们可以进行这样一种博弈游戏：

给出一个有 \(n\) 个点的树，有一个点作为树的根节点，游戏者只有两人。

游戏者轮流从树中删去边，删去一条边后，不与根节点相连的部分将被移走。

谁无路可走谁输。

简单的树手推一下各个 SG 值，然后找规律。

发现 \(sg(rt)=\text{xor}\{(sg(son)+1)\}\)。

证明对树的大小归纳，不难，略。

当然类似的树上博弈也类似做法，即 SG 扩展性好。