以下笔记整理基于 Walter Rudin 所著的 《Principles of Mathematical Analysis Third Edition》（数学分析原理第三版）的第二章：基础拓扑（Basic Topology），在下文中简称为教材.

紧致性（compactness）的引入

度量空间的很多概念（比如邻域、极限点、内点、开性、闭性、完备性等）都是相对而言的.  但也有些概念是自洽的，独立于所基于的父集，比如孤立点以及有界的概念，紧致性也是这样一种概念. 紧致性相比开性或闭性的这种优势，教材里的原文是：Compactness, however, behaves better（然而，紧致性表现更佳）.

示例 1

设 E = {1/k | k ∈ Z⁺}，K = E ∪ Z⁺，X = E ∪ Z，Y = Q.  易知 E ⊂ K ⊂ X ⊂ Y，E 相对于 K 是开集也是闭集，E 相对于 X 是开集但不是闭集，E 相对于 Y 既不是开集也不是闭集.

设 E' = {0} ∪ {1/k | k ∈ Z⁺}，K' = E' ∪ Z⁺，X' = E' ∪ Z，Y = Q.  易知 E' ⊂ K' ⊂ X' ⊂ Y，E' 相对于 K' 是开集也是闭集，E' 相对于 X' 是开集也是闭集，E' 相对于 Y 不再是开集但依然是闭集.

示例中的 E 由无限个孤立点组成，随着所基于的父集的不同，E 的开性和闭性也有所不同；而 E' 只是在 E 的基础上增加了一个元素 0，但有意思的是，E' 在不同的父集之下都是闭集，即 E' 的闭性是自洽的. E' 显然又是有界的. 于是就可以引入如下的定义：

紧集定义一：若度量空间 E 是有界的，且对于任意包含 E 的 X，E 都是闭集，则称 E 是紧致的，即 E 是紧集.

进一步考察示例中的 E 和 E'，可以发现，E' 比 E 多出来的一个元素 0 是 E' 的一个极限点，相对于 E' 的任意一个父集，0 都是 E' 的极限点，即 0 是 E' 的极限点是自洽的，进而易知 E' 是闭集也是自洽的. 而 0 是否为 E 的极限点则要视 E 所基于的父集是否含有 0 而定. 

然而不难发现 0 对于 E 和 E' 而言还是存在一个共性：E 和 E' 中的点可以无限趋近于 0. 因此，可以引入一个比极限点概念表现更佳的概念，比如就称为紧致点：

若任意给定一个正实数 r，度量空间 E 中总存在两点 p 和 q 满足 d(p, q) < r，则称 E 存在紧致点. 

按这个定义，上述 E 和 E' 都存在唯一的紧致点，即元素 0.

于是紧集的定义可等价于：

紧集定义二：若度量空间 E 是有界的，且 E 的任意紧致点 p 满足 p ∈ E，则称 E 是紧集.

示例 2

判断 E = [0, 1] ∩ Q 是否为紧集以及 E 分别在 Q 和 R 中的开闭性.

[0, 1] 有界，所以 E 有界；E 由 [0, 1] 中的全体有理数组成，对于 [0, 1] 中的任意一个无理数 p = 0.a₁a₂...a_n...，E 中存在一个无穷的有理数列 0.a₁, 0.a₁a₂, ...,  0.a₁a₂...a_n, ... 无限趋近于 p，因此 p 是 E 的紧致点. 但 p ∉ E，故 E 不是紧集.

再看 E 在 Q 中的开闭性. E 在端点 1 处的邻域总有 q = 1 + 1/k ∉ E 且 q ∈ Q，使得 d(1, q) = 1/k 可以小于任意给定的正实数 r （取 k > 1/r 即可），因此，E 在 Q 中不是开集. [0, 1] 中的任意有理数显然都是 E 的极限点； 而[0, 1] 之外的任意有理数都不是 E 的极限点，因此 E 在 Q 中是闭集.

再看 E 在 R 中的开闭性. 对任意点 p ∈ E，p 在 R 中的任意邻域必然含有实数，因此 E 中一个内点都没有，显然不是开集. E 中任意点依然是 E 的极限点，但 [0, 1] 中的任意实数也都是 E 的极限点，因此 E 显然也不是闭集.

小结与分析

由上述定义可知：

1）紧集中的点要么是孤立点，要么是紧致点. 

2）有限集是只有孤立点而没有紧致点的紧集.

3）若紧集 E 中含有紧致点，则 E 是无限集.

4）紧集是有界的.

5）紧集一定是闭集.

6）点 p 是紧集 E 的紧致点当且仅当点 p是 E 的极限点且 p ∈ E. 

看一下 3）的逆命题：若紧集 E 是无限集，则 E 中含有紧致点. 由教材上的定理 2.41 可知该逆命题成立. 

教材上的定理 2.41 以及附在证明之后的说明，实际给出了紧集的一个表述简洁的定义：

紧集定义三：若 E 的任意一个无限子集 S 都有一个极限点 p 满足 p ∈ E，则 E 为紧集.

这个定义里没有显式要求 E 是有界的，但是由 S 的任意性决定了 E 必然是有界的. 

完善紧致点的定义

上述由对示例 1 的分析引入了紧集的定义，并引入了“表现更佳”的紧致点的定义. 但是在推论一个有界的度量空间 E 不具备紧致性时，需要指出 E 存在一个在该度量空间定义之外的紧致点，感觉会有些突兀，而且上面并没有正面给出紧致点的定义，即没有对某个点是否为 E 的紧致点给出直接的判据，比如下面这样的直接判据：

对点 p 以及任意正实数 r，若总存在 q ∈ E 满足 d(p, q) < r，则称 p 为 E 的紧致点.

这是因为，点 p 可以不属于 E，也不属于 E 所基于的父集 X，谈论 X 中没有定义的一点 p 到 X 中一点 q 的距离 d(p, q) 确实是突兀的. 因此可以类似扩域的思想引入扩充度量空间，即令 Y ⊃ X ⊃ E，使得 p ∈ Y，即可正面给出紧致点的定义：

若存在 E 的扩充度量空间 Y（Y ⊃ E），使得 Y 中的某点 p 以及任意正实数 r，若总存在 q ∈ E 满足 d(p, q) < r，则称 p 为 E 的紧致点.

空集是不是紧集

空集 Φ 既没有孤立点，也没有紧致点，但同样符合上述几个等价的对紧集的定义要求，因而空集也是紧集.

另外，A ∩ Φ = Φ，A ∪ Φ = A，也符合两个紧集的交或并依然是紧集的结论. 

教材上对紧集的定义与注解

教材上是借助开覆盖（open cover）的概念来给出紧集的定义的：

2.31 定义 集合 E 在度量空间 X 中的一个开覆盖是指 X 的一组开子集 {G_α}，该组子集满足 E ⊂ ∪_αG_α.

2.32 定义 若子集 K 在度量空间 X 中的任意一个开覆盖都包含一个（可以覆盖 K 的）有限子覆盖，则称 K 是紧集. 更明确来说，要满足的要求是若 {G_α} 是 K 的一个开覆盖，则在全体下标 α 中必定存在有限个下标 α₁, ..., α_n，使得

^{K ⊂ G}α₁ ^{∪ ... ∪ G}α_n^.

对照前面的示例 1 来看下这个定义. 先看 E = {1/k | k ∈ Z⁺}，X = E ∪ Z，由前面对紧集的定义可知，E 不是紧集，于是按这里的定义，X 中存在 E 的一个开覆盖 {G_α}，且这个开覆盖中不存在可以覆盖 K 的有限子覆盖. 乍一看，这似乎是不可能的：E 是有界的，点 1 的半径为 1 的邻域 N₁(1)，即 X 的一个开子集就可以覆盖 E，居然会存在一个不能降为有限子覆盖的无限开覆盖？事实上还真有，构造一个这样的无限开覆盖的方法可形象地称之为俄罗斯套娃方法，一个具体的构造方法如下：

1、以点 1 为中心，半径为 1/2 构造邻域 G₁，显然 G₁ ∩ E = {1}，即该邻域仅覆盖 E 中的点 1；

2、以点 1/2 为中心，半径为 1/2 - 1/3 构造邻域G₂，显然 G₂ ∩ E = {1/2}；

3、以点 1/2 为中心，半径为 1/2 - 1/4 构造邻域G₃，显然 G₃ ⊃ G₂，且 G₃ ∩ E= {1/2, 1/3}；

...

n、以点 1/2 为中心，半径为 1/2 - 1/(n+1) 构造邻域G_n，显然 G_n ⊃ G_n-1，且 G_n ∩ E= {1/2, 1/3, ..., 1/n}；

...

由这个构造法可知，除 G1 外，其余的开子集满足 G₂  ⊂ G₃ ⊂ ... ⊂ G_n ⊂ ...，且第一个开始覆盖 1/n 的开子集的下标为 n，即 1/n ∈ G_k , k ≥ n. 显然这个无限开子集序列可以覆盖 E 中的每个点. 假设这个开覆盖存在有限子覆盖，即存在有限个下标 α₁, ..., α_m，使得

^{E ⊂ G}α₁ ^{∪ ... ∪ G}α_m^.

记 v = max(α₁, ..., α_m)，则由上述构造方法可知 1/(v+1) ∈ E 但不被下标为 α₁, ..., α_m 的子覆盖所覆盖，矛盾. 这说明上述方法构造的无限开覆盖不存在可以覆盖 E 的有限子覆盖.

再看 E' = {0} ∪ {1/k | k ∈ Z⁺}，X' = E' ∪ Z. 由前面对紧集的定义可知，E' 是紧集，于是按教材里的定义，X 中任意一个 E' 的开覆盖 {G_α}，这个开覆盖中必然存在可以覆盖 E' 的有限子覆盖. 上面构造的无限开子集序列 {G_n} 没有覆盖 0，为可以覆盖 E'，还必需构造一个覆盖 0 的开子集，记为 G₀. 由 0 ∈ G₀，以及 G₀ 在 X' 上是开集，可知 0 是 G₀ 的内点，于是存在 0 的一个邻域满足 Nr(0) ⊂ G₀. 当 n > 1/r 时，r > 1/n，令 h = [1/r] + 1，则 {1/k | k ≥ h, k ∈ Z⁺} ⊂ Nr(0) ⊂ G₀，即 E' 中只有有限几个（≤ h）点不在 G₀ 中，即对于任意一个 E' 的开覆盖，该开覆盖总会包含一个可以覆盖 E' 的有限子覆盖，即按教材里的定义，E' 是闭集.

从上对比可以看出，直接用教材里的紧集定义去判断一个度量空间是否为紧集是比较繁琐的，而用前三个定义之一则非常简单.